Классификация по асимптотическим свойствам вероятностей Рjj(n)
а) невозвратные
б) возвратные нулевые
в) ненулевые
Классификация по арифметическим свойствам вероятностей Рjj(n)
а) периодические
б) непериодические
Упражнения
В задачах 22–24 выяснить, будет ли цепь с матрицей вероятностей перехода за один шаг P периодической. Для периодических цепей указать период.
22.
P
=
23.
P
=
24.
P
=
В задачах 25–27 указать возвратные и невозвратные состояния.
25.
P
=
.
26.
P
=
27.
P
=
Симметричное случайное блуждание
Пример
1. Рассмотрим
одномерное случайное блуждание по
целочисленной решетке (
).
Симметричное одномерное случайное
блуждание (р = q
=
)
возвратно.
Доказательство.
P00(2n+1)
= 0, P00(2n)
=
,
n
= 0,2,…
По
формуле Стирлинга, n!
nne–n
,
P00(2n)
.
Состояние
возвратно при p
= q
=
,
т.к.
.
Пример 2. Рассмотрим двумерное случайное блуждание по целочисленной решетке на плоскости. Симметричное двумерное случайное блуждание возвратно.
Доказательство.
Рассмотрим
все траектории: из 0 в 0, состоящие из i
перемещений вправо, i
влево, j
вверх и j
вниз, 2i+2j=2n.
Вероятность за один шаг переместиться
в любом из четырех направлений равна
.
(*)
P00(2n)
=
,
n
= 1,2,3,…; P00(2n+1)
= 0, n
= 0,1,…
Умножим числитель и знаменатель в (*) на (n!)2 , получим
P00(2n)
=
,
но
;
докажем это.
Рассмотрим
равенство (1+x)2n
= (1+x)n
(1+x)n
и приравняем коэффициенты при xn:
,
но
Т.о., P00(2n)
=
и
по формуле Стирлинга
(n!
)
тогда
P00(2n)
,
,
состояние возвратно.
Пример 3. Симметричное случайное блуждание по трём измерениям невозвратно.
Доказательство.
P00(2n+1)
= 0, n
= 0, 1, … , P00(2n)
=
.
Умножим числитель и знаменатель на (n!)2, получим:
P00(2n)
=
.
Если
то P00(2n)
≤
.
Мы использовали то, что
=
1.
Max
Cn
достигается (при больших n)
при i
= j
~
,
тогда Сn
~
P00(2n)
≤
Применим, как выше, формулу Стирлинга
(сделать это самостоятельно!) и получим,
что P00(2n)
Тогда
<
=> состояние невозвратное.
Теорема 2. Симметричное случайное блуждание возвратно в пространствах одного и двух измерений и невозвратно в пространстве трёх и более измерений.
Лемма. Одномерное случайное блуждание образует возвратную цепь Маркова тогда и только тогда, когда р = q = .
Доказательство леммы.
В
примере 1 были получены вероятности
P00(2n+1)
= 0, P00(2n)
=
.
При р = q
=
,
P00(2n)
=
,
.
При
p
≠ q,
,
т.к. (4pq)n
= n,
< 1, а ряд
по признаку Даламбера.
Доказательство теоремы.
Для одномерного случая (k=1) утверждение теоремы доказано в лемме. Рассмотрим теперь двумерный случай (k=2). Блуждание можно представить в виде суммы двух независимых компонент:
x(n) = (x1(n), 0)+(0, x2(n)), где xi(n)– одномерные последовательности.
Тогда
x(n+1)
= x(n)
+ ξn,
где ξn
принимает
четыре значения : (
).
P00(2n)
= P(x(2n)
= (0,0)/x(0)
= (0,0)) = P(x1(2n)
= 0/x1(0)
= 0)∙P(x2(2n)
= 0/x2(0)
= 0) =
,
состояние возвратно.
При
k
= 3: P00(2n
) = O
,
,
состояние невозвратно.
При
k
> 3: P00(2n)
= O
,
состояние невозвратно.
Несимметричное случайное блуждание (при p ≠ q) невозвратно для любого k (т.к. (4pq)n = n, < 1, ).