Зависимость результата от выбора математической модели

В случае, когда для одного и того же процесса имеется несколько математических моделей. Выбор модели может оказать существенное влияние на точность получения результата.

Рассмотрим это на примере определения суммы ряда вида:

где a = 0,01

N = 100.

При этом абсолютная погрешность, с которой в компьютере вычисляется функция , составляет Δ = 10^-5.

Рассмотрим два пути нахождения суммы и, соответственно, две математические модели:

1. путем обычного суммирования;

2. использование формулы для суммы ряда, представляющнго убывающую геометрическую прогрессию.

В первом случае общая абсолютная погрешность вычисления суммы S₁ будет определяется как сумма абсолютных погрешностей расчета каждого слагаемого ряда. Тогда

Δ_S1 = NΔ = 10^-3

Во втором случае рассчеты будут несколько сложнее. Формула для вычисления суммы будет иметь вид:

Здесь для вычисления применяем известное соотношение: для x << 1.

Абсолютную погрешность Δ_S2 для дроби непосредственно не вычислить, можно вычислить лишь относительную погрешность δ_S2, а затем пересчитать ее в абсолютную по формуле:

Δ_S2 = δ_S2 S₂

В свою очередь, δ_S2 находим как сумму относительных погрешностей вычисления числителя дроби δ_числ и ее знаменателя δ_знам:

δ_S2 = δ_числ + δ_знам

Сначала δ_знам вычисляем по формуле:

Затем, в свою очередь, δ_числ вычисляем по формуле:

Учитывая, что δ_знам >> δ_числ последним можно пренебречь, тогда δ_S2  δ_знам

Теперь вычисляем Δ_S2:

Δ_S2 = 10^-3 · 63 = 63·10^-3,

Что в 63 раза больше, чем Δ_S1

Таким, образом, продемонстрировано, что использование при расчетах различных моделей может привести к существенно разным погрешностям в результатах вычислений.