1.2 Энергия электростатического поля.

1. Вычислить энергию электростатического поля равномерно заряженного сферы радиуса R. Поверхностная плотность σ. (Два способа)

Дано: Анализ и решение: Найти: W

По теореме Остроградского-Гаусса

Ответ:

2.Вычислить энергию электростатического поля равномерно объемно заряженного шара. Радиус шара R, заряд q.

3. Получить формулы энергию электростатического поля сферического конденсатора.

1.3 Уравнения Пуассона и Лапласа

1. Используя уравнения Пуассона и Лапласа определить электростатическое поле бесконечно равномерно заряженной пластины. Толщина пластины «d», объемная плотность заряда .

2. Используя уравнения Пуассона и Лапласа определить электростатическое поле бесконечно равномерно заряженного кругового цилиндра. Радиус цилиндра «R», объемная плотность заряда .

Д ано: Анализ и решение:

R Направим ось z вдоль оси цилиндра. В силу аксиальной

симметрии распределения заряда потенциал также аксиально

симметричен, т.е. . Поэтому удобно использовать

E-? цилиндрическую систему координат, аксиальный угол, который

обозначим через . В цилиндрической системе координат оператор Лапласа имеет следующий вид:

(1)

Т.к. потенциал зависит только от r, то в данном случае выражение (1) принимает следующий вид.

Следовательно, уравнение Пуассона записывается следующим образом:

при 0< r < R

при r > R

Общее решение этих уравнений находятся непосредственно интегрированием

(2)

Поскольку потенциал во всех точках должны быть конечными, а при r→0 lnr→∞, необходимо в решении (2) положить А₁=0. Удобно нормировать потенциал условием . При таком условии нормировки В₁=0. Условие непрерывности потенциала и его производной при r=R дают две алгебраических уравнения относительно неизвестных А₂ и В₂.

Отсюда следует, что при 0‹r‹R;

при r›R. Напряженность электрического поля выражается формулами:

при 0‹r‹R;

при r›R.

Таким образом, внутри цилиндра поле растет с расстоянием прямо пропорционально радиусу, а вне цилиндра оно убывает обратно пропорционально радиусу.

1.4 Метод изображений.

1. Используя метод изображений, определить поле заряда q, расположенного на расстоянии d от проводящей плоскости.

Д ано: Анализ и решение:

q, d q

d

φ, E-?

ме

Используем метод изображений и рассмотрим вспомогательную задачу двух разноименных зарядов равных по величине q₁=q, q₂=-q.

По принципу суперпозиции потенциала φ в некоторой точке пространства

Z перпендикулярна к чертежу.

Величина электрического поля в плоскости z=0 равна:

В плоскости х=0 компонента Е_у исчезает, а компонент Е_х равна

Потенциал вдоль оси у равен 0 и следовательно он равен 0 в силу симметрии распространения зарядов в плоскости х. Поэтому если вместо точечного заряда –q имеется бесконечная плоская проводящая поверхность х=0. несущая заряд –q, то в картине эквипотенциальных поверхностей в полупространстве х›0 ничего не изменится, следовательно не изменится электрическое поле. Таким образом, поле в полупространстве х›0 при наличии точечного заряда +q и бесконечной проводящей плоскости х=0 такого же, как и поле при наличии точечного заряда +q и другого точечного заряда –q, расположенного в точке, которая является зеркальным отражением места нахождения первого заряда относительно плоскости х=0. Определить поле двух точечных зарядов не составляет труда. Такой метод решения задач называется методом изображения. В основном задача состоит в том, чтобы подобрать такое распределение зарядов, чтобы одна из эквипотенциальных поверхностей совпадала с поверхностью рассматриваемого проводника. Плотность поверхностного заряда на поверхности х=0 проводника в соответствии с граничными условием для дается выражением: в металле

Сила взаимодействия точечного заряда q с проводящей поверхностью х=0 равна силе взаимодействия этого заряда с его изображением, то есть

2. Используя метод изображений, определить силу взаимодействия между зарядом q заземленной проводящей сферой радиуса R. Расстояние между зарядом и центром сферы равно d.