Примеры решения задач

Задача 1. К тонкому однородному проволочному кольцу радиуса R подводят ток I. Подводящие провода, расположенные радиально, делят кольцо на две дуги, длины которых l₁ и l₂. Найти индукцию магнитного поля в центре кольца.

Решение: Магнитное поле создается токами I₁ и I₂, текущими по дугам l₁ и l₂ кольца, и током I, текущим по подводящим проводам:

(1)

. (1)

К

(2)

аждое из слагаемых может быть найдено на основании принципа суперпозиции и закона Био–Савара–Лапласа:

где d - вектор магнитной индукции поля, созданного элементом тока Id в точке, радиус – вектор которой .

Токи в подводящих проводах не создают поля в центре кольца, так как для любого элемента d , этих проводов [Id , ]=0. Векторы индукции

м

(3)

агнитных полей, созданных токами I₁ и I₂ в центре кольца, направлены перпендикулярно плоскости рисунка и противоположны друг другу. Следовательно, индукция магнитного поля в центре кольца

В=|B₁-B₂|,

(4)

Запишем закон Био – Савара – Лапласа в скалярном виде:

В центре кольца для каждого элемента тока r = r₀;

Все элементарные полей, созданных элементами тока коллинеарны между собой, и интегрирование выражения (4) по дуге l₁ дает

(5)

Аналогично,

Подставляя выражения для B₁ и B₂ в (3) получаем

Соединение проводников l₁ и l₂– параллельное, сопротивление каждого из них прямо пропорционально длине (по условию, кольцо однородное). Это значит, что силы токов I₁ и I₂обратно пропорциональны сопротивлениям R₁ и R₂, т.е. обратно пропорциональны длинам дуг l₁ и l₂:

Следовательно, I₁l₁ = I₂l₂, и индукция магнитного поля в центре кольца B = 0.

Очевидно, что если в выражении (5) заменить длину дуги l₁ длиной окружности l = 2πr₀, то получается известное выражение индукции в центре витка, обтекаемого током I₁:

Задача 2. По двум длинным прямолинейным проводам, находящимся на расстоянии r = 5 см друг от друга в воздухе, текут токи I = 10 A каждый. Определить магнитную индукцию B поля, создаваемого токами в точке, лежащей посередине между проводами, для случаев:

1. Провода параллельны, токи текут в одном направлении (рис. 1.13а);

2. П ровода параллельны, токи текут в противоположных направлениях (рис. 1.13б);

3. Провода перпендикулярны, направление токов указано на рис. 1.13в.

Решение: Результирующая индукция магнитного поля равна векторной

сумме: ,где – индукция поля, создаваемого током I₁; –индукция поля, создаваемого током I₂.

(6)

Если и направлены по одной прямой, то векторная сумма может быть заменена алгебраической суммой:

B = B₁+B₂.

При этом слагаемые B₁ и B₂ должны быть взяты с соответствующими знаками.

(7)

В данной задаче во всех трех случаях модули индукций B₁ и B₂ одинаковы и вычисляются по формуле

Подставив значения величин в формулу (6), найдем модули и :

B₁=B₂= 80 мкТл.

1-й случай. Векторы и направлены по одной прямой (рис. 1.13а); следовательно, результирующая индукция определяется по формуле (6). Приняв направление вверх положительным, вниз – отрицательным, получим:

B = B₁+B₂ = -80 мкТл+80 мкТл=0.

2-й случай. Векторы и направлены по одной прямой в одну сторону (рис. 1.13б).поэтому можем записать

B = B₁+B₂ = -80 мкТл -80 мкТл= -160 мкТл.

3-й случай. Векторы индукций магнитных полей, создаваемых токами в точке, лежащей посередине между проводами, взаимно перпендикулярны (рис. 1.13в). Результирующая индукция по модулю и направлению является диагональю квадрата, построенного на векторах и . По теореме Пифагора найдем

Задача 3. Бесконечно длинный проводник изогнут так, как это изображено на рис. 1.14а. радиус дуги окружности R = 10 см. Определить магнитную индукцию поля, создаваемого в точке O током I = 80 А, текущим по этому проводнику.

Решение: Магнитную индукцию в точке O найдем, используя принцип суперпозиции магнитных полей . В нашем случае проводник можно разбить на три части (рис. 1.14б): два прямолинейных проводника (1 и 3), одним концом уходящие в бесконечность, и дугу полуокружности (2) радиуса R. Тогда

,

где , и – магнитные индукции поля в точке O, создаваемые током, текущим соответственно на первом, втором и третьем участках проводника.

Так как точка O лежит на оси проводника 1, то B₁ = 0 и тогда

Учитывая, что векторы направлены в соответствии с правилом буравчика перпендикулярно плоскости чертежа от нас, геометрическое суммирование можно заменить алгебраическим:

B = B₂ + B₃.

Магнитную индукцию поля B₂ можно найти, используя выражение для магнитной индукции в центре кругового проводника с током I:

Так как магнитная индукция B₂ создается в точке O половиной такого кругового проводника с током, то, учитывая равный вклад в магнитную индукцию от каждой половинки проводника, можно написать

Магнитную индукцию B₃ найдем, используя формулу

В нашем случае r₀ = R, α₁ = (cosα₁ = 0), (cosα₂ = -1). Тогда

Используя найденные выражения для B₂ и B₃, получим

или

Произведем вычисления: B = 3.31∙10^-4Тл = 331 мкТл.

Задача 4. По двум параллельным прямым проводам длиной l = 2,5 м каждый, находящимся на расстоянии d = 20 см друг от друга, текут одинаковые токи I = 1 кА. Вычислить силу F взаимодействия токов.

Решение: Взаимодействие двух проводников, по которым текут токи, осуществляется через магнитное поле. Каждый ток создает магнитное поле, которое действует на другой проводник. Предположим, что оба тока (обозначим их I₁ и I₂) текут в одном направлении (рис. 1.15).

Вычислим силу F_1,2, с которой магнитное поле, созданное током I₁, действует на проводник с током I₂. Для этого проведем магнитную силовую л инию так (штриховая линия на рисунке), чтобы она касалась проводника с током I₂. По касательной к силовой линии проведен вектор магнитной индукции B₁. Модуль магнитной индукции B₁ определяется соотношением:

(8)

С

(9)

огласно закону Ампера, на каждый элемент второго проводника с током I₂ длиной dl₂ действует в магнитном поле сила

Так как отрезок d перпендикулярен вектору , то

.

И тогда

Подставив в выражение (9) B₁ из (8), получим

Силу F_{1, 2} взаимодействия проводников с током найдем интегрированием по всей длине второго проводника:

Заметив, что I₁ = I₂ =I и l₂ = l, получим

Сила сонаправлена с силой (рисунок 1.15) и определяется правилом левой руки.

Задача 5. Провод в виде тонкого полукольца радиусом R=10см находится в однородном магнитном поле (В=50мТл). По проводу течет ток I=10А. Найти силу , действующую на провод, если плоскость полукольца перпендикулярна линиям магнитной индукции, а проводящие провода находятся вне поля.

Р ешение: Расположим провод в плоскости чертежа перпендикулярно линиям магнитной индукции (рис. 1.16) и выделим на нем малый элемент dl с током. На этот элемент тока Idl будет действовать по закону Ампера сила . Направление этой силы можно определить по правилу векторного произведения или по правилу левой руки.

Используя симметрию, выберем координатные оси так, как это изображено на рисунке. Силу представим в виде

,

где – единичные векторы (орты); dF_x и dF_y – проекции вектора на координатные оси Оx и Оy_.

Силу , действующую на весь провод, найдем интегрированием:

где символ L указывает на то, что интегрирование ведется по всей длине провода L.

Из соображений симметрии первый интеграл ( ) равен нулю.

Тогда

(10)

Из рисунка следует, что

где dF – модуль вектора ( ). Так как вектор перпендикулярен вектору ( = 1), то dF = IBdl. Выразив длину дуги dl через радиус R и угол α , получим

dF= IBR dα.

Тогда

dF_y= IBR cosα dα.

Введем dF_y под интеграл соотношения (10) и проинтегрируем в пределах от

-π/2 до +π/2 (как это следует из рисунка):

Из полученного выражения видно, что сила сонаправлена с положительным направлением оси Оy (единичным вектором ).

Модуль силы :F= | | = 2 IBR = 0,1H.

Задача 6. На проволочный виток радиусом r= 10 см, помещенный между полюсами магнита, действует максимальный механический момент М_max=6,5 мкН. Сила тока I в витке равна 2А. Определить магнитную индукцию В поля между полюсами магнита. Действием магнитного поля Земли пренебречь.

Р

(11)

ешение: Индукцию В магнитного поля можно определить из выражения механического момента, действующего на виток с током в магнитном поле,

.

Если учесть, что максимальное значение механический момент принимает при = /2 ( =1), а также, что =IS, то формула(11) примет вид

Отсюда, учитывая, что находим

Вывод: Закон Био–Савара–Лапласа, а следовательно, и формулы, выведенные с его помощью, справедливы только для линейных токов (т.е. токов, текущих по проводникам, поперечные размеры которых пренебрежимо малы).