Примеры решения задач

Задача 1. В колебательном контуре с индуктивностью и емкостью конденсатор заряжен до максимального напряжения . Каким будет ток в контуре в тот момент, когда напряжение на конденсаторе уменьшится в два раза? Колебания считать незатухающими.

Решение: В отсутствии затухания суммарная энергия электрического и магнитного полей в контуре сохраняется. Следовательно, в каждый момент времени справедливо равенство:

откуда

По условию задачи . Ток в контуре в этот момент времени равен: .

Задача 2. В колебательном контуре конденсатору с емкостью сообщили заряд , после чего возникли затухающие электромагнитные колебания. Сколько тепла выделится к моменту, когда максимальное напряжение на конденсаторе станет меньше максимального напряжения в раза?

Решение: Количество выделившегося тепла равно разности между начальными и конечными значениями энергии в контуре. В моменты, когда напряжение на конденсаторе максимально, ток через катушку равен нулю. Следовательно, энергия в эти моменты сосредоточена в конденсаторе. Имеем:

Учитывая, что и в интересующий нас момент времени получаем ответ:

.

Задача 3. Катушка индуктивностью с сопротивлением обмотки и конденсатора емкостью подключены параллельно к источнику ЭДС и внутренним сопротивлением . Какое количество тепла выделится в контуре после отключения источника?

Р ешение: При замкнутом достаточно долгое время ключе в цепи устанавливается ток через источник и катушку, величина которого равна:

Напряжение на конденсаторе, равное напряжению на катушке, будет:

Суммарная энергия заряженного конденсатора и катушки с током:

После отключения источника в контуре, состоящем из катушки и конденсатора, возникнут затухающие электромагнитные колебания, в результате которых вся начальная энергия перейдет в тепло:

Задача 4. Конденсатор емкостью , заряженный до напряжения , подсоединяют катушку индуктивности . Чему равна величина тока через катушку спустя время после подключения конденсатора? Сопротивлением катушки и соединительных проводов пренебречь.

Решение: При подключении заряженного конденсатора к катушке в образовавшемся контуре возникают электрические колебания с частотой . При этом заряд на конденсаторе меняется во времени по закону:

где - начальный заряд на конденсаторе. Поскольку сопротивление катушки и соединительных проводов пренебрежимо мало, суммарная энергия электрического и магнитного поля в контуре сохраняется. Из закона сохранения энергии следует, что:

Выражая отсюда ток через катушку, имеем:

Величина тока в момент времени равна:

Задача 5. Колебательный контур состоит из катушки индуктивности и четырех конденсаторов, соединенных как показано на рисунке. Во сколько раз изменится период собственных колебаний в контуре, если замкнуть ключ, соединяющий точки А и ?

Р ешение: Поскольку период электромагнитных колебаний в контуре определяется формулой Томпсона отношение периода колебаний после замыкания ключа к периоду колебаний до замыкания ключа выразится как:

где - емкости батареи конденсаторов в этих двух случаях соответственно. Расчет по стандартным формулам дает:

при разомкнутом ключе,

при замкнутом ключе.

Отсюда получаем ответ:

Задача 6. В цепи, показанной на рисунке, конденсатор емкостью вначале заряжен до напряжения а конденсатор емкостью разряжен. До какого максимального значения может зарядиться конденсатор в процессе колебаний, возникающих в цепи после замыкания ключа? Потерями в соединительных проводах и в катушке индуктивности пренебречь.

Р ешение: После замыкания ключа в цепи возникают гармонические колебания, в процессе которых происходит периодическая перезарядка конденсаторов. В каждый момент времени суммарное напряжение на конденсаторах равно напряжению на катушке, которое, в свою очередь, опережает по фазе ток в цепи на . В момент достижения максимального напряжения на конденсаторах ток в цепи обратится в нуль, следовательно, вся энергия будет сосредоточена на конденсаторах. При этом на конденсатор перетечет из конденсатора некоторый заряд , а на конденсаторе останется заряд . Величину заряда на конденсаторе можно найти из закона сохранения энергии в контуре. В силу того, что в рассматриваемый момент времени магнитная энергия обращается в нуль,

Отсюда . Учитывая, что , получаем ответ:

.

Вывод: При решении задач следует уделять внимание как общим закономерностям, присущим колебательным процессам, так и физической сущности явлений, происходящих в электрическом колебательном контуре.