Методические указания по решению задач

Большинство задач данного раздела связано либо с равновесием, либо с движением тел под действием различных сил, включая силу Ампера и силу Лоренца. Поэтому, наряду с законами магнетизма, при решении задач необходимо использовать законы механики.

Цель: Решение задач, связанных с движением заряженных частиц в магнитном поле.

Основные формулы

Сила, действующая на элемент проводника с током I в магнитном поле (сила Ампера),

Магнитный момент контура с током

,

где S – площадь, охватываемая контуром, – единичный вектор нормали к плоскости контура.

Механический момент, действующий на контур с током, помещенный в однородное магнитное поле,

.

Потенциальная энергия контура с током в магнитном поле

.

Сила F_x, действующая на контур с током в неоднородном магнитном поле, обладающим осевой (вдоль оси ОХ) симметрией,

,

где - величина, характеризующая степень неоднородности магнитного поля вдоль оси ОХ; α – угол между векторами и .

Сила, действующая на заряд q, движущийся со скоростью в магнитном поле с индукцией (сила Лоренца),

.

Закон полного тока (для магнитного поля в вакууме)

где μ₀ – магнитная постоянная; - алгебраическая сумма токов, охватываемых контуром; n – число токов.

Примеры решения задач

Задача 1. По длинному прямолинейному цилиндрическому проводнику радиусом R течет ток силой I с постоянной плотностью внутри проводника. Определите индукцию магнитного поля: а) снаружи проводника (r>R);

б) внутри проводника (r˂R).

Решение:

а) В силу симметрии индукция магнитного поля должна быть одинакова во всех точках, находящихся на одном расстоянии от центра проводника, поскольку все эти точки находятся в одинаковых физических условиях. Так как вектор направлен по касательной к окружности, проведенной вокруг проводника, то в качестве контура интегрирования в теореме о циркуляции вектора выберем окружность, описанную вокруг проводника радиусом r>R. Тогда

,

откуда

что совпадает с результатом, полученным для прямого проводника с током.

б) Внутри проводника вновь выберем контур в виде окружности с радиусом r˂R. Вектор направлен по касательной к этой окружности, и в силу симметрии его величина должна быть одинаковой во всех точках контура. Охваченный контуром ток меньше полного тока I во столько же раз, во сколько площадь контура меньше площади сечения проводника: πr²/πR². Тогда по теореме о циркуляции вектора

I

или

Индукция магнитного поля равна нулю в центре проводника и линейно возрастает с увеличением расстояния до центра, пока r R; при r R величина В убывает как 1/r. Эти результаты справедливы для точек, близких к проводнику по сравнению с расстояниями до его концов (длинный проводник).

Задача 2. На деревянный тороид малого поперечного сечения намотано равномерно N витков провода, по которому течет ток I. Найти отношение η индукции магнитного поля внутри тороида к индукции в центре тороида.

Решение: Индукцию на оси тороида найдем с помощью теоремы о циркуляции 2πRB₀ = µNI, где R – радиус оси тороида:

.

Поскольку ток подходит к тороиду и отходит от него в одной и той же точке, вдоль оси тороида также течет ток I. Таким образом индукция в центре тороида будет такой же, как от кольцевого тока радиуса R. Эту индукцию найдем с помощью закона Био-Савара-Лапласа:

Отсюда получим искомое отношение

Задача 3. Докажите, пользуясь законом о циркуляции вектора , что неоднородное магнитное поле не может иметь одно и то же направление во всем пространстве, как показано на рисунке 2.11.

Решение: Линии магнитной индукции в нижней части рисунка распо­ложены теснее, чем в верхней. Это указывает на то, что индукция магнитного поля внизу больше, чем в верхней части. В качестве замкнутого контура, ф игурирующего в теореме о циркуляции выберем прямоугольный контур abcd как показано на рисунке. Так как внутри контура тока нет, то

С другой стороны, используя определение циркуляции, имеем:

Здесь учтено, что перпендикулярна dl на участках ab и cd. Последнее выражение не равно нулю, так как индукция B₁ вдоль bс меньше, чем индукция B₂ вдоль ad. Мы пришли к противоречию. Тем самым доказано, что существование неоднородного магнитного поля, имеющего одно и то же направление, противоречит закону о циркуляции вектора .

Задача 4. Плоский квадратный контур со стороной длиной а = 10 см, по которому течет ток I = 100 А, свободно установился в однородном магнитном поле индукцией В = 1 Тл. Определить работу А, совершаемую внешними силами при повороте контура относительно оси, проходящей через середину его противоположных сторон, на угол: 1) φ₁ = 90⁰; 2) φ₂ = 3⁰. При повороте контура сила тока в нем поддерживается неизменной.

(1)

Решение: На контур с током в магнитном поле действует механический момент

М = p_mBsinφ.

По условию задачи, в начальном положении контур свободно установился в магнитном поле. При этом момент сил равен нулю (М = 0), а значит, φ = 0, т.е векторы p_mи B совпадают по направлению.

(2)

Если внешние силы выведут контур из положения равновесия, то возникший момент сил, определяемый формулой (1), будет стремиться возвратить контур в исходное положение. Против этого момента и будет совершаться работа внешними силами. Так как момент сил переменный (зависит от угла φ поворота), то для подсчета работы применим формулу работы в дифференциальной форме

dA = Mdφ.

Подставив сюда выражение М по формуле (1) и учтя, что p_m= IS = Ia², где I–сила тока в контуре, S = a²–площадь контура, получим

dA = IBa²sinφdφ.

Взяв интеграл от этого выражения, найдем работу при повороте на конечный угол:

(3)

1).Работа при повороте на угол φ₁ = 90⁰

2). Работа при повороте на угол φ₂ = 3⁰. В этом случае, учитывая, что угол φ₂ мал, заменим в выражении (3) на φ:

Задача 5. Электрон, имея скорость , влетел в однородное магнитное поле с индукцией под углом к направлению линий индукции. Определить радиус R и шаг h винтовой линии, по которой будет двигаться электрон.

Решение: Известно, что на заряженную частицу, влетевшую в магнитное поле, действует сила Лоренца:

(4)

где Q – заряд частицы, в данном случае Q=

Так как вектор силы Лоренца перпендикулярен вектору скорости, то модуль скорости не будет изменяться под действием этой силы. Но при постоянной скорости, как это следует из формулы (4), останется постоянным и значение силы Лоренца. Из механики известно, что постоянная сила, перпендикулярная скорости, вызывает движение по окружности. Следовательно, электрон, влетевший в магнитное поле, будет двигаться по окружности в плоскости, перпендикулярной линиям индукции, со скоростью, равной поперечной составляющей скорости (рис. 2.12); одновременно он будет двигаться и вдоль поля со скоростью :

В результате электрон будет двигаться по винтовой линии.

Радиус окружности, по которой движется электрон, найдем следующим образом. Сила Лоренца F сообщает электрону нормальное условие ускорения . По второму закону Ньютона, , где , и . Тогда

,

отсюда после сокращения на находим радиус винтовой линии:

Подставив значение величин m, v, e, B и α и произведя вычисления, получим

Шаг винтовой линии равен пути, пройденному электроном вдоль поля со скоростью за время, которое понадобится электрону для того, чтобы совершить один оборот,

(5)

где - период вращения электрона. Подставив это выражение для T в формулу (5), найдем:

Подставив в эту формулу значения величин , R и , получим

Задача 5. Электрон движется в однородном магнитном поле с индукцией В = 0,03 Тл по окружности радиусом r = 10 см. Определить скорость v электрона.

Решение: Движение электрона по окружности в однородном магнитном поле совершается под действием силы Лоренца. Поэтому можно написать

,

откуда найдем импульс электрона:

p = mv = |e|Br.

Релятивистский импульс выражается формулой

Выполнив преобразования, получим следующую формулу для определения скорости частицы:

В данном случае p = |e|Br. Следовательно,

Или

v = cβ = 2,61∙10⁸м\с.

Электрон, обладающий такой скоростью, является релятивистским.

Вывод: Если скорости частиц достигают значений, соизмеримых со скоростью света в вакууме, то следует учитывать релятивистский эффект возрастания массы со скоростью и неприменимость формул классической механики Ньютона.