2.4 Практические применения силы Лоренца. Эффект Холла

Эффект Холла — это возникновение в металле (или полупроводнике) с током плотностью j, помещенном в магнитное поле В, электрического поля в направлении, перпендикулярном В и j.

П оместим металлическую пластинку с током плотностью j в магнитное поле В, перпендикулярное j (рис. 2.6). При данном направлении j скорость носителей тока в металле — электронов — направлена справа налево. Электроны испытывают действие силы Лоренца, которая в данном случае направлена вверх. Таким образом, у верхнего края пластинки возникнет повышенная концентрация электронов (он зарядится отрицательно), а у нижнего — их недостаток (зарядится положительно). В результате этого между краями пластинки возникнет дополнительное поперечное электрическое поле, направленное снизу вверх. Когда напряженность Е этого поперечного поля достигнет такой величины, что его действие на заряды будет уравновешивать силу Лоренца, то установится стационарное распределение зарядов в поперечном направлении. Тогда

где а — ширина пластинки,  — поперечная (холловская) разность потенциалов.

Учитывая, что сила тока I = jS = nevS (S - площадь поперечного сечения пластинки толщиной а, n — концентрация электронов, v— средняя скорость упорядоченного движения электронов), получим

т. е. холловская поперечная разность потенциалов прямо пропорциональна магнитной индукции В, силе тока I и обратно пропорциональна толщине пластинки d. В формуле R = 1/(en) — постоянная Холла, зависящая от вещества. По измеренному значению постоянной Холла можно:

1) определить концентрацию носителей тока в проводнике (при известных характере проводимости и заряде носителей);

2) судить о природе проводимости полупроводников, так как знак постоянной Холла совпадает со знаком заряда е носителей тока.

Эффект Холла поэтому — наиболее эффективный метод изучения энергетического спектра носителей тока в металлах и полупроводниках. Он применяется также для умножения постоянных токов в аналоговых вычислительных машинах, в измерительной технике (датчики Холла) и т. д.

2.5 Закон полного тока для магнитного поля в вакууме (теорема о циркуляции вектора в)

В разделе “Электростатика” было доказано, что циркуляция вектора напряженности электростатического поля вдоль замкнутого контура равна нулю, откуда следует потенциальный характер электростатического поля. Одним из основных отличий магнитного поля от электростатического поля является его непотенциальность. Для доказательства этого рассмотрим линейный интеграл от В по замкнутому пути в магнитном поле, создаваемом током, т.е.

где – вектор элемента длины контура, направленный вдоль обхода контура; В_ℓ – проекция вектора на направление касательной к контуру. Данный интеграл называется циркуляцией вектора по заданному замкнутому контуру ℓ.

Рассмотрим частный случай: круговой путь ℓ является силовой линией радиуса R магнитного поля прямолинейного бесконечного проводника с током (рис.2.7).

Магнитная индукция для этого случая была подсчитана ранее, и во всех точках окружности вектор составляет:

Угол между векторами и равен нулю, поэтому cos( , )=1. Из полученного результата следует, что циркуляция вектора магнитной индукции вдоль силовой линии прямолинейного проводника с током не равна нулю, т.е. поле такого проводника непотенциально. Оно называется вихревым. Полученная формула справедлива для любой формы замкнутого контура, охватывающего проводник с током.

Пусть теперь наш контур ℓ произвольной формы охватывает n проводников с токами I₁, …I_n. Каждый ток учитывается столько раз, сколько раз он охватывается контуром. При этом положительным считается ток, если он с направлением обхода контура образует правовинтовую систему. Ток противоположного направления считается отрицательным.

Р азберем пример, изображенный на рис.2.8. Найдем сумму токов, т.е. полный ток, охватываемый контуром ℓ:

Т ок I₃ не учитывается, т.к. он не охватывается контуром. В результате имеем

Таким образом, циркуляция вектора В по произвольному замкнутому контуру равна произведению магнитной постоянной на алгебраическую сумму токов, охватываемых этим контуром:

Данное выражение представляет собой закон полного тока для магнитного поля в вакууме, или теорему о циркуляции вектора В.

Все вышерассмотренное относится к вакууму. Можно доказать, что циркуляция вектора вдоль замкнутого контура, не охватывающего проводник с током, равна нулю.

Рассмотренная нами теорема имеет в магнитостатике такое же значение, как теорема Гаусса в электростатике. Она позволяет находить магнитную индукцию различных полей без применения закона Био-Савара-Лапласа.