2.5. Наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке

Пусть функция y=f (x) непрерывна на отрезке [а b]. Тогда на этом отрезке функция достигает наибольшего значения. Будем предполагать, что на данном отрезке функция f (x) имеет конечное число критических точек. Если наибольшее значение достигается внутри отрезка [а,b], то очевидно, что это значение будет одним из максимумов функции (если имеется несколько максимумов), а именно, наибольшим максимумом. Но может случиться, что наибольшее значение будет достигаться на одном из концов отрезков.

Итак, функция на отрезке [а,b] достигает своего наибольшего значения либо на одном из концов этого отрезка, либо в такой внутренней точке этого отрезка, которая является точкой максимума. То же самое можно сказать и о наименьшем значении функции: оно достигается либо на одном из концов данного отрезка, либо в такой внутренней точке, которая является точкой минимума.

Алгоритм нахождения наибольшего и наименьшего значения функции на отрезке.

1. Находим критические точки функции.

2. Находим значения функции только в тех критических точках, которые находятся внутри отрезка [a,b].

3. Находим значения функции на концах отрезка, т.е. f(a), f(b).

4. Среди всех значений функции, найденных в п.2 и в п.3, выбираем наибольшее и наименьшее.

4.6. Выпуклость и вогнутость кривой. Точки перегиба

Определение 4

Мы говорим, что кривая обращена выпуклостью вверх на интервале

(a, b), если все точки кривой лежат ниже любой ее касательной на этом интервале.

Мы говорим, что кривая обращена выпуклостью вниз на интервале

(b, c), если все точки кривой лежат выше любой ее касательной на этом интервале.

Кривую, обращенную выпуклостью вверх, будем называть выпуклой, а обращенную выпуклостью вниз – вогнутой.

Направление выпуклости кривой является важной характеристикой ее формы. Докажем следующую теорему.

Теорема 6

Если во всех точках интервала (а, b) вторая производная функции f(x) отрицательна, т.е. f"(x) <0, то кривая y=f (x) на этом интервале обращена выпуклостью вверх (кривая выпуклая).

Теорема 6'

Если во всех точках интервала (b, c) вторая производная функции f(x) положительна, т.е. f"(x) >0, то кривая y=f (x) на этом интервале обращена выпуклостью вниз (кривая вогнутая).

Определение 5

Точка, отделяющая выпуклую часть непрерывной кривой от вогнутой, называется точкой перегиба кривой.

Очевидно, что в точке перегиба касательная, если она существует, пересекает кривую, так как с одной стороны от этой точки кривая лежит под касательной, а с другой стороны – над нею.

Теорема 7

Пусть кривая определяется уравнением y=f (x). Если f"(а) = 0 или f"(а) не существует и при переходе через значение x=a производная f"(x) меняет знак, то точка кривой с абсциссой x=a есть точка перегиба.

Алгоритм исследования на выпуклость и точки перегиба.

1. Находим область определения функции f (x).

2. Находим производную f″(x) и критические точки 2-го рода.

3. Разбиваем область определения f(x) критическими точками 2-го рода на интервалы.

4. Определяем знак f″(x) в каждом из интервалов, полученных в п. 3.

5. Делаем выводы о направлении выпуклости в каждом интервале и

о наличии точек перегиба.

6. Вычисляем координаты точек перегиба.

Пример 4. Найти интервалы выпуклости, вогнутости и точки перегиба графика функции f (x) = (х + 1) ^{1/ 3}.

1. Область определения : ( , ).

2. f ‘(x) = 1/3 (х + 1) ^{- 2/ 3}, f″(x) = - 2/9 (х + 1) ^{- 5/ 3}.

f″(x)  0, f″(x) не существует при х = - 1.

3. ( , -1), ( -1, ).

4. f″(x) > 0 при х < - 1, f″(x) < 0 при х > - 1.

5. График функции выпуклый на ( -1, ). и вогнутый на ( , -1).

f ( -1) = (-1 + 1) ^{1/ 3} = 0, (-1, 0) - точка перегиба.