- •Глава приложения производной
- •§1. Теоремы о дифференцируемых функцияx
- •1.1. Теорема о корнях производной (теорема Ролля)
- •1.2 Теорема о конечных приращениях (теорема Лагранжа)
- •1.3. Теорема об отношении приращений двух функций
- •§2. Исследование функций с помощью производной
- •2.1. Возрастание и убывание функции
- •Алгоритм исследования функции на монотонность.
- •2.2. Максимум и минимум функции
- •Согласно определению производной имеем
- •2.3. Схема исследования дифференцируемой функции на максимум и минимум с помощью первой производной
- •2.4. Исследование функции на максимум и минимум с помощью второй производной
- •Алгоритм исследования функции на экстремум (с помощью второй производной).
- •2.5. Наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке
- •4.6. Выпуклость и вогнутость кривой. Точки перегиба
- •Алгоритм исследования на выпуклость и точки перегиба.
- •2.7. Асимптоты
- •Алгоритм нахождения асимптот кривой.
- •2.8. Общий план исследования функций и построения графиков
2.3. Схема исследования дифференцируемой функции на максимум и минимум с помощью первой производной
На основании предыдущего параграфа можно сформулировать следующее правило для исследования дифференцируемой функции y=f (x) на максимумы и минимумы:
1. Находим область определения функции f (x).
2. Ищем первую производную, т.е. f'(x).
3. Находим критические значения аргумента x; для этого:
а) приравниваем первую производную нулю и находим действительные корни полученного уравнения f'(x)=0;
б) находим значение x, при которых производная f'(x) терпит разрыв.
4. Исследуем знак производной слева и справа от критической точки.
Так как знак производной остается постоянным в интервале между двумя критическими точками, то для исследования знака производной слева и справа, например, от критической точки x2 достаточно определить знак производной в точках α и β (x1<α< x2, x2 <β< x3), где x1 и x3 – ближайшие критические точки).
5. Делаем вывод о наличии и характере экстремумов функции f (x) .
6. Вычисляем значение функции f(x) при каждом критическом значение аргумента.
Пример 2. Найти экстремумы функции f (x) = 2x3 + 3 x2 - 12x + 5.
1. Область определения : ( , ).
2 f ′(x) = 6x2 + 6x - 12.
3 f ′(x) = 0 ; 6(x2 + х - 2) = 0 х = 1, х = - 2.
4 f ′(-2-0)>0, f ′(-2+0)<0; f ′(1-0)<0, f ′(1+0)>0
5 х = - 2 - точка максимума, x = 1- точка минимума.
5. f max = f (- 2) = 2(- 2)3 + 3(- 2)2 - 12(- 2) + 5 = 25, f min = f (1) = - 2.
Таким образом, имеем следующее схематическое изображение возможных случаев:
Знаки производной f'(x) при переходе через критическую точку x1 |
Характер критической точки |
||
x <x1 |
x= x1 |
x> x1 |
|
+ |
f'(x1)=0 или разрывна |
- |
Точка максимума |
- |
f'(x1)=0 или разрывна |
+ |
Точка минимума |
+ |
f'(x1)=0 или разрывна |
- |
Нет ни максимума, ни минимума (функция возрастает) |
- |
f'(x1)=0 или разрывна |
+ |
Нет ни максимума, ни минимума (функция убывает) |
2.4. Исследование функции на максимум и минимум с помощью второй производной
Пусть при x=x1 производная функции y=f (x) обращается в нуль, т. е. f'(x)=0. Пусть, кроме того, вторая производная f"(x) существует и непрерывна в некоторой окрестности точки x1. Тогда справедлива следующая теорема.
Теорема 5
Пусть f'(x1)=0; тогда при x=x1 функция имеет максимум, если
f"(x) <0, и минимум, если f"(x) >0.
Если в критической точке f"(x) =0, то в этой точке может быть или максимум, или минимум или не быть ни максимума, ни минимума. В этом случае исследование нужно вести с помощью первой производной.
Алгоритм исследования функции на экстремум (с помощью второй производной).
1. Находим область определения функции f (x).
2. Находим производную f′(x) и критические точки.
3. Находим f″(x) и определяем знак f″(x) в каждой стационарной точке.
4. Делаем выводы о наличии и характере эктремумов в стационарных точках.
5. Вычисляем экстремальные значения функции.
Пример 3. Найти экстремумы функции f (x) = 2x3 + 3 x2 - 12x + 5.
1. Область определения : ( , ).
2. f ′(x) = 6x2 + 6x - 12. f ′(x) = 0; 6(x2 + х - 2) = 0 х = 1, х = - 2.
3. f ″(x) = 12x + 6. f ″(1) = 18 > 0, f ″(- 2) = - 18 < 0.
4. x = 1 - точка минимума, х = - 2 - точка максимума.
5. f max = f (- 2) = 2(- 2)3 + 3(- 2)2 - 12(- 2) + 5 = 25, f min = f (1) = - 2.
Схему исследования экстремумов с помощью второй производной можно изобразить в следующей таблице:
f'(x1) |
f"(x1) |
Характер критической точки |
0 |
- |
точка максимума |
0 |
+ |
точка минимума |
0 |
0 |
неизвестна |
|
||