Алгоритм исследования функции на монотонность.

1. Находим область определения функции f (x).

2. Находим производную f'(x).

3. Находим критические точки .

4. Разбиваем область определения f (x) критическими точками на интервалы.

5. Определяем знак производной в каждом из интервалов, полученных в п. 4.

6. Делаем вывод о характере монотонности f(x) в каждом интервале.

Пример 1. Найти интервалы монотонности функции f (x) = х⁵/5 - х³/3 .

Решение. 1. Область определения: ( , ).

2. f'(x) = х⁴ - х² .

3. f'(x) = 0 : х⁴ - х² = 0  х = 0, х = 1, х = -1.

4. 4. ( , -1), ( -1, 0), (0, 1), (1,).

5. f'(x) > 0 при х  (- , -1); f'(x) < 0 при х  ( -1, 0);

f'(x) < 0 при х  ( 0, 1); f'(x) > 0 при х  ( 1,  ).

6. Функция f (x) возрастает () на интервалах ( , -1) (1, ) и убывает () на интервале (-1, 1).

2.2. Максимум и минимум функции

Определение 2

Функция f(x) в точке x₁ имеет максимум (maximum), если f(x₁+ ∆x) < f(x₁) при любых ∆x (положительных и отрицательных), достаточно малых по абсолютной величине, т.е. если значение функции f(x) в точке x₁ больше, чем ее значение во всех точках некоторого интервала, содержащего точку x₁.

Определение 3

Функция f(x) имеет минимум (minimum) при x=x₂, если f(x₂+∆x)>f(x₂) при любых ∆x – как положительных, так и отрицательных, достаточно малых по абсолютной величине.

В связи с определениями максимума и минимума следует обратить внимание на следующие обстоятельства.

1. Функция, определенная на отрезке, может достигать максимума и минимума только при значениях x, заключенных внутри рассматриваемого отрезка.

2. Не следует думать, что максимум и минимум функции являются соответственно ее наибольшими и наименьшими значениями на рассматриваемом отрезке: в точке максимума функция имеет наибольшее значение лишь по сравнению с теми значениями, которые она имеет во всех точках, достаточно близких к точке максимума, а в точке минимума – наименьшее значение лишь по сравнению с теми значениями, которые она имеет во всех точках, достаточно близких к точке минимума.

Максимумы и минимумы функции называются экстремумами или экстремальными значениями функции.

Экстремальные значения функции и их расположение на отрезке [а, b] в известной степени характеризуют изменение функции в зависимости от изменения аргумента.

Ниже будет указан метод нахождения экстремальных значений.

Теорема 3 (необходимое условие существования экстремума)

Если дифференцируемая функция y= f(x) имеет в точке x=x₁ максимум или минимум, то ее производная обращается в нуль в этой точке, т.е. f'(x) =0.

Доказательство. Предположим для определенности, что в точках x=x₁ функция имеет максимум. Тогда при достаточно малых по абсолютному значению приращениях ∆x (∆x≠0) имеет место f(x₁+ ∆x) < f(x₁), т.е. f(x₁+ ∆x) - f(x₁) < 0. Но в таком случае знак отношения

определяется знаком ∆x, а именно:

>0, при ∆x <0,

<0, при ∆x <0.