1.3. Теорема об отношении приращений двух функций

(теорема Коши)

Теорема (Коши)

Если f (x) и φ (x) – две функции, непрерывные на отрезке [a, b] и дифференцируемы внутри него, причем φ' (x) нигде внутри отрезка не обращается в нуль, то внутри отрезка [a, b] найдется такая точка х = с, a<c<b, что

Замечание. Теорему Коши нельзя доказать, как это может показаться с первого взгляда, применением теоремы Лагранжа к числителю и знаменателю дроби

Действительно, мы получили бы в этом случае (после сокращения дроби на

(b – a)) формулу

в которой a<c₁<b, a<c₂<b. Но так как вообще говоря, с₁≠с₂, то получаемый результат, очевидно, не дает еще теоремы Коши.

§2. Исследование функций с помощью производной

2.1. Возрастание и убывание функции

Определение 1

Функция у = f (x) называется возрастающей (убывающей) в интервале (а,b), если из х₁ < х₂ , где х₁, х₂  (а, b) следует f (х₁) < f (х₂) (соответственно f (х₁) > f (х₂)).

Теорема 1

1) Если функция f(x), имеющая производную на отрезке [a, b], возрастает на этом отрезке, то ее производная на отрезке [a, b] не отрицательна, т. е. f'(x)>0.

2) Если функция f(x) непрерывна на отрезке [a, b] и дифференцируемая в промежутке (a, b), причем f'(x)>0 для a<x<b, то эта функция возрастает на отрезке [а, b].

Доказательство. Докажем сначала первую часть теоремы. Пусть f(x) возрастает на отрезке [a, b]. Придадим аргументу x приращение ∆x и рассмотрим отношение

Так как f(x) - функция возрастающая, то f(x+∆ x) > f(x) при ∆x >0 и f(x+ ∆x) < f(x) при ∆x >0. В обоих случаях

> 0

а, следовательно,

> 0

т. е. f'(x)>0, что и требовалось доказать. (Если бы было f'(x)<0, то при достаточно малых значениях ∆x отношение (1) было бы отрицательным, что противоречит соотношению (2).)

Докажем теперь вторую часть теоремы. Пусть f'(x)>0 при всех значениях x, принадлежащих промежутку (a, b).

Рассмотрим два любых значения x₁ и x₂, x₁ < x_2, принадлежащих отрезку

[а, b]. По теореме Лагранжа о конечных приращениях имеем

f(x₂) - f(x₁)= f'()(x₂ –x₁), x₁    x₂.

По условию f'()0, следовательно, f(x₂) - f(x₁)0, а это и значит, что f(x )‒ возрастающая функция.•

Аналогичная теорема имеет место и для убывающей (дифференцируемой) функции, а именно если f(x) убывает на отрезке [а, b], то f'(x) < 0 на этом отрезке. Если f'(x)<0 в промежутке (a, b), то f(x) убывает на отрезке [а, b]. (Конечно, мы и здесь предполагаем, что функция непрерывна во всех точках отрезка [а, b] и дифференцируема всюду на (a, b).)

Замечание. Доказанная теорема выражает следующий геометрический факт. Если на отрезке [а, b] функция f(x) возрастает, то касательная к кривой y= f(x) в каждой точке на этом отрезке образует с осью 0х острый угол или горизонтальна; тангенс этого угла не отрицателен. Если функция y= f(x) убывает на отрезке [а, b], то угол наклона касательной ‒ тупой (или ( в отдельных точках) касательная горизонтальна); тангенс этого угла не положителен.

В простейших случаях область определения функция f (x) разбивается на конечное число интервалов монотонности ( кусочно монотонная функция ). Каждый из интервалов монотонности ограничен критическими точками, в которых f'(x) = 0 или f'(x) не существует.