Примеры решения задач

Пример 1. Проводник в виде тонкого полукольца радиусом 0,1 м находится в однородном магнитном поле с индукцией 0,05 Тл. По проводнику течёт ток 10 А. Найти силу, действующую на проводник, если плоскость полукольца перпендикулярна линиям индукции.

Решение

Разобьем проводник на элементы тока Idl (рис. 2.4). Положение элемента тока на окружности будет определяться углом , причемdl = Rd. Со стороны магнитного поля на элемент тока действует сила Ампера (2.1)

dF=IdlBSin, (1)

где  угол между элементом тока и магнитной индукцией, =90^о.

Разложим силу dF на две составляющие силы dF_y и dF_x:

dF_x=dFcos, dF_y=dFsin.

Заметим, что ввиду симметрии полукольца относительно оси Y проекция F_x будет равна нулю. Результирующая сила по оси Y будет отлична от нуля

. (2)

Подставим (1) в (2) и после интегрирования получим

=.

Подставим числовые значения:

Н.

Пример 2. Небольшая катушка с током, имеющая магнитный момент 2 А∙м², находится на оси кругового витка радиусом 20 см, по которому идёт ток 10 А. Найти модуль силы, действующей на катушку, если её расстояние от центра витка равно 10 см. Вектор магнитного момента параллелен оси витка.

Решение

Магнитное поле кругового витка является неоднородным. В таком поле на катушку будет действовать сила (2.7)

, (1)

где  производная магнитной индукции по направлению магнитного момента.

Направим ось X вдоль оси витка (рис. 2.5) и спроецируем выражение (1) на эту ось.

. (2)

Индукция магнитного поля на оси кругового тока (1.3)

. (3)

Возьмём производную от выражения (3) по переменной x:

.

Окончательно для силы F_x имеем при x = а

.

Знак минус означает, что катушка будет втягиваться в область сильного поля.

Подставим числовые значения:

= Н =мН.

Пример 3. Протон движется в магнитном поле с индукцией Тл по винтовой линии радиусом 2 см и шагом 5 см (рис. 2.6). Определить величину скорости протона и угол её наклона к линиям индукции.

Решение

Заряженная частица движется в магнитном поле по винтовой линии, если она в него влетает под углом  к линиям индукции.

Разложим скорость на две составляющие_ и _

_=cos, (1)

_=sin. (2)

Радиус и шаг винтовой линии (2.11, 2.12) определяются величинами _ и u_ соответственно.

,h=u_||T, .

Поделим (2) на (1) и из выражений для T и h найдем отношение составляющих скорости

.

Из последнего выражения определим угол наклона скорости  к оси X:

tg=23,14210^-2/510^-2=2,512, =68^o.

Скорость найдем как

м/с.

Пример 4. Квадратная рамка с током I = 1 А расположена в одной плоскости с длинным прямым проводником, по которому течёт ток I₀=5 А (рис. 2.7). Сторона рамки а = 10 см. Проходящая через середины противоположных сторон ось рамки параллельна проводу и отстоит от него на расстоянии, которое в =1,5 раза больше стороны рамки. Найти силу, действующую на рамку, и работу, которую нужно совершить для поворота рамки вокруг её оси на 180, если токи поддерживают неизменными.