2.12. Координаты единичного вектора. Направляющие косинусы

Поместим вектор в начало координат и обозначим черезуглы, которые векторобразует с положительным направлением осей

Рис.11

координат. Эти углы называются

направляющими углами вектора. Косинусы этих углов называются

направляющими косинусами вектора.

Пусть вектор образует, например, с осьюугол. Тогда из треугольника

на рис.11 .

Аналогично:,.

Тогда или.

Отсюда ,,.

число, равное произведению длин векторов на косинус угла между ними .

Теорема 2. Если векторы ивДСК заданы координатами и, то скалярное произвеление равно сумме произведений одноименных координат, т.е.

. Докажем эту теорему.

Дано: ,.

Доказать: .

Доказательство. Разложим векторыипо базису. Заполним таблицу.

,

, т.е., ч.т.д.

1⁰. коммутативность сложения (переместительный закон).

2⁰. дистрибутивность (распределительный закон относительно сложения).

3⁰. ассоциативность (сочетательный закон относительно умножения на число).

4⁰. .

В векторной форме

В ДОСК

5⁰. .

5⁰. .

6⁰. .

6⁰. .

7⁰.

условие ортогональности.

7⁰. ,

, .

8⁰. .

8⁰. ,

.

9⁰.

9⁰.

.

Докажем сойство 7. Теорема 3. Скалярное произведение векторов равно нулю тогда и только тогда, когда эти векторы ортогональны т.е..

1. Необходимое условие.

Дано: .

Доказать: .

Доказательство. Так как по условию

, т.к. по условию, то,

Следовательно, угол и.

2. Достаточное условие.

Дано: .

Доказать:

Доказательство. Так как по условию , значит угол, тогда , ч.т.д.

Пусть материальная точка движется прямолинейно от точки к точке

под действием постоянной силы , направленной под угломк направлению

движения. Тогда работа, совершаемая при этом движении, равна:

, т.е. .