2.3. Составляющая вектора на оси. Связь между составляющей и проекцией

Пусть на осизадан векторединичной длины (орт), идущий по положительному направлению оси,проекция векторана ось,составляющая векторана ось.

1.

Вектор , следовательно

.

2.

Вектор , следовательно

.

3.

Так как , следовательно,

.

Составляющая вектора на ось есть вектор равный произведению проекции вектора на ось на орт направления.

Вектор ,, тогда,

т.е. . Проекции вектора на координатные оси равны:

Z

называется разложением вектора по базису , где называются координатами вектора , они жекоэффициенты в разложении или проекции вектора на координатные оси. Записывают или. В дальнейшем будем использовать запись .

x

Замечания:

координатные ортыимеют координаты;

векторы ,,удовлетворяют условиям:

1) векторы попарно перпендикулярны; 2) векторылинейно независимы так как . Следовательно, векторы,,образуют ортонормированный базис трехмерного пространства;

любой вектор разлагается по базисуединственным

образом: .

Определение. Вектор , идущий из начала координат в точкуМ, называется радиус-вектором точки М, .

Координатами точки М будем называть координаты её радиус- вектора или проекции на координатные оси, т. е..

Пусть в базисе заданы точки и.

Тогда ,.

.

Чтобы найти координаты вектора надо из координат конца вычесть координаты начала.

Аналогино: ,

Пусть вектор задан своими координатами.

Тогда вектор является диагональюпрямоугольного параллелепипеда с длинами сторон. Применяя дважды теорему

Пифагора, получим: ,

Пусть заданы точки и.

Вектор , следовательно,

.

Пусть на прямой задан отрезокАВ, где ,, и точка, лежащая внутри отрезкаАВ. Тогда, если , то говорят, что точкаделит отрезокАВ в отношении внутренним образом. Следовательно,и. Отсюда имеем

Аналогично получаем:

Если , то точкасередина отрезка,

тогда координаты середины отрезка вычисляются по формулам:

Если, то точкасовпадет с точкойA. Если точкане лежит внутри отрезка, то. В этом случае векторы, следовательно,, векторы сонаправленыи =.