4. Пример выполнения задания

Рассмотрим производственную задачу. Пусть некоторая фирма изготавливает два вида красок. Цена одной тонны краски №1 равна 2 тыс. руб., а краски №2 − 3 тыс. руб. Нужно определить оптимальный суточный объем производства в тоннах для обеих красок. В качестве целевой функции выберем суммарный суточный доход фирмы :

Этот доход необходимо максимизировать.

Есть ограничения :

1) суточный спрос на краску №1 никогда не превышает спрос на краску №2 более, чем на 1 тонну х₁-х₂≤1,

2) суточный спрос на краску №2 никогда не превышает 2 тонны.

Для производства красок используются два вида исходных продуктов: А и В. Расход исходных продуктов для производства обоих видов красок и их возможные суточные запасы представлены в таблице 14.1.

Таблица 14.1

Исходный продукт	Расход исходного продукта на 1 тонну краски		Максимальный суточный запас, т
	Краска №1	Краска №2
А	2	1	6
В	1	2	8

Согласно таблице 14.1 можно записать ограничения на расход материалов:

для исходного продукта А : 2х₁+х₂≤6,

для исходного продукта В : х₁+2х₂≤8.

К записанным ограничениям нужно добавить естественное условие неотрицительности : х₁≥0, х₂≥0 .

Математическую формулировку задачи оптимизации запишем в виде:

Z=2x₁+3x₂ → max (14.3)

x₁−x₂≤1 (14.4)

2x₁+x₂≤6 (14.5)

x₁ ≤2 (14.6)

x₁+2x₂≤8 (14.7)

x₁≥0, x₂≥0 (14.8)

Будем решать задачу в общем виде без преобразования неравенств в равенства. В связи с тем , что в задаче только две независимых переменных , она может решаться графическим методом.

Построим при помощи Mathcad многогранник ABCDEF (рис.14.1) , внутри которого находится область допустимых решений.

Оптимальное решение находится в одной из вершин этого многогранника. Нанесем на график линии уровня 1 и 2 , соответствующие различным значениям целевой функции. Увеличение значения целевой функции при движении в направлении перпендикуляра от линии 1 до линии 2.

Рис.14.1

Геометрическое решение задачи (14.3) : 1− линии уровня z=6, 2 − линии уровня z=9, 3 − ограничение (14.7) по ресурсу В, 4 − ограничение (14.4), 5− ограничение (14.5) по ресурсу А , 6 − ограничение (14.6).

Таким образом, максимальное значение целевой функции будет соответствовать точка С.

Найдем с помощью Mathcad координаты точки С:

Таким образом ,точка С имеет координаты х₁=1,333 и х₂=3,333 .

Определим целевую функцию Z(x1,x2):=2x1+3x2

Найдем оптимальное значение целевой функции

Z(1.33,3.33)=12.67 т.руб./сутки

Проанализируем влияние начальных условий на оптимальное решение.

Первая задача − определить влияние изменения запасов.

Здесь можно рассмотреть два случая. На сколько можно увеличить запас дефицитного ресурса, улучшая оптимальное значение целевой функции, и на сколько можно снизить запас недефицитного ресурса при сохранении оптимального значения целевой функции.

В нашей задаче дефицитными ресурсами являются ограничения (14.5) и (14.7), определяющие оптимальную точку С.

Увеличением ресурса А с 6 до 7 т/сутки можно сдвинуть прямую DC так, чтобы оптимальной стала (·) К. Определим ее координаты :

Точка К имеет координаты х1=2 , х2=3.

Найдем новое оптимальное значение целевой функции в (·) К

Z(2,3)=13 т.руб./сутки

Полученное оптимальное значение лучше предыдущего.

Увеличением ресурса (14.7) , связанного с суточным запасом продукта В, с 8 до 12 т/сутки сдвигает прямую DC так, чтобы оптимальной стала (·) L. Ее координаты : х1=0, х2=6.

Z(0,6)=18 т.руб./сутки

Увеличением суточного запаса продукта В можно добиться существенного увеличения оптимального значения целевой функции.

Недефицитный ресурс (14.6) фиксирует максимальный уровень спроса на краску №1 . Без изменения оптимального значения целевой функции он может быть уменьшен до 1,33 т/сутки .

Другой недефицитный ресурс (14.4) при сдвиге прямой 4 вправо до точки С примет вид х2−х1≥2 , т.е.спрос на краску №2 может превышать спрос на краску №1 не более ,чем на 2 т/сутки.

Результаты анализа представлены в таблице

Таблица 14.2

Ресурс	Тип	Максимальное изменение ресурса, т/сутки	Максимальное изменение дохода т.руб./сутки
(14.5)	дефицитный	1	0,33
(14.7)	дефицитный	4	5,33
(14.6)	недефицитный	0,66	0
(14.4)	недефицитный	3	0

Вторая задача анализа – определение чувствительности или изменения дохода на единицу изменения ресурса. В таблице 14.3 представлены результаты определения чувствительности по каждому из ресурсов.

Таблица 14.3

Ресурс	Тип	Чувствительность, т.руб./т
(14.5)	дефицитный	0,33
(14.7)	дефицитный	1,33
(14.6)	недефицитный	0
(14.4)	недефицитный	0

Из таблицы видно 14.3 очевидно , что в первую очередь следует увеличивать ресурс (14.7) , т.е. запасы исходного продукта В.

Третья задача анализа – определение пределов изменения коэффициентов целевой функции . Эта задача разделяется на две части.

Первая – определить диапазон изменения коэффициентов, при котором не происходит изменения оптимального значения целевой функции . В данном случае можно допустить поворот целевой функции вокруг точки С в пределах, определяемых тангенсами углов наклона ресурсов (14.5) и (14.7), т.е. от -5 до -2. При этом коэффициент при х2, равный 3 в исходной целевой функции , может изменяться от 2 до 4.

Вторая часть задачи – определить, на сколько следует изменить коэффициенты целевой функции, чтобы дефицитный ресурс сделать недефицитный или наоборот.

В данном случае при коэффициенте целевой функции при х2 в пределах от -2 до -4 ресурс (14.5) становится недефицитным, т.к. не проходит через оптимальную точку В.