14. Линейное геометрическое программирование

1. Цель работы

Познакомиться с методами линейного программирования и получить навыки решения простейших задач путем их геометрической интерпретации с использованием вычислительной системы Mathcad.

2. Задание

Найти минимум целевой функции при заданных ограничениях.

№	Целевая функция	1 ограничение	2 ограничение	3 ограничение
1	2х+3у	х+у≤5	х+2у≥4	2х+у≥5
2	6х+3у	2х+у≥2	3х−4у≤12	х=2
3	х+2у	х+у≤6	х−у≤3	х+у≥4
4	2х+4у	х+у≤5	х+2у≥4	2х+у≥5
5	7х+3у	2х+у≥2	3х−4у≤12	у=3
6	3х+3у	х+у≤5	х+2у≥4	2х+у≥5
7	4х+3у	х+у≤6	х+2у≥4	2х+у≥5
8	5х+у	х+у≤7	х+2у≥4	у=10
9	6х+2у	х+у≤8	х+2у≥4	х=5
10	5х+3у	х+у≤7	х+2у≥4	2х+у≥5

Для всех заданий х>0, у>0.

3. Теоретические сведения

Линейное программирование – математический способ решения задач оптимизации, для которых целевая функция и заданные ограничения являются линейными.

Основной задачей линейного программирования является нахождение чисел x₁,x₂,….,x_n для которых целевая функция :

(14.1)

достигает наибольшего (наименьшего) значения при ограничениях

(14.2)

где с_j,a_ij,b_i - заданные числа.

Найденные числа x₁,x₂,….,x_n , являющиеся решением задачи, называются оптимальным планом.

Особенностью основной задачи является то, что функциональные ограничения задаются в форме равенств. Если ограничения задаются в форме равенств и неравенств , и на некоторые ( или на все ) переменные не накладываются условие неотрицательности , то будем говорить о том , что задача представлена в общей форме. Любая задача линейного программирования может быть приведена к основной задаче.

Преобразовать неравенство в равенство можно, введя дополнительную переменную , а от условия отрицательности переменных можно заменой переменных перейти к условию неотрицательности. Область допустимых решений задачи линейного программирования представляет собой многогранник в пространстве n-переменных. В теории линейного программирования доказано, что оптимальное решение соответствует одной из вершин этого многогранника.

Решение задачи сводится к определению одной из вершин , в которой значение целевой функции меньше(больше), до тех пор, пока не будет достигнуто оптимальное значение целевой функции. Данной работе ограничимся двумя переменными, что допускает геометрическую интерпретацию решения задачи на плоскости.

Методы решения задач с большим числом переменных в данной работе не рассматриваются.