0. 9.6 Контрольные вопросы

1.В каких случаях применяется приближенные расчеты определенных интегралов?

2.В чем заключается метод левых прямоугольников?

3. В чем заключается метод правых прямоугольников?

4. Какова зависимость точности метода прямоугольников от шага интегрирования?

5. В чем заключается метод трапеций?

6. Какова зависимость точности метода трапеций от шага интегрирования?

7. В чем заключается метод парабол?

8. Какова зависимость точности метода парабол от шага интегрирования?

0. 9.7 Литература

1.Беглаев Ю.П., Вычислительная математика и программирование, Москва,ВШ,1990 г.

2.Воробьёва Г.Н., Данилова А.Н., Практикум по вычислительной математике, Москва, ВШ, 1990 г.

3. Дьяконов В.П., Справочник по Mathcad , Москва, СК Пресс, 1997 г.

10. Решение обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка методом Эйлера

    1. 10. 1 Цель работы

Целью данной работы является изучение численного метода Эйлера решения обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка, приобретение навыков использования соответствующих численных методов с применением программных средств автоматизации вычислений.

Также рассмотрены модификации метода Эйлера.

3. 10.2 Задание

Таблица 10.1

№	ОДУ	Точное решение	a	b	Δdop
1			0.2	1.6	0.05
2			0.2	4	0.5
3			0.5	3	0.9
4			1	4	0.01
5			0	2	0.02
6			1	3	0.02
7			0	2	0.015
8			0.5	4	0.003
9			0.5	4	0.07

1. 10.3 Теоретические сведения

Дифференциальные уравнения - это уравнения, в которых неизвестными являются не переменные (т. е. числа), а функции одной или нескольких переменных. Эти уравнения включают соотношения между искомыми функциями и их производными.

Определение : Если в уравнения входят производные только по одной переменной, то они называются обыкновенными дифференциальными уравнениями (далее чаще используется сокращение ОДУ).

ОДУ 1 – го порядка, разрешенное относительно старшей производной, может быть записано в виде

(1)

Решить (или проинтегрировать) дифференциальное уравнение - значит определить неизвестную функцию на определенном интервале изменения ее переменных.

Решением (или интегралом) уравнения (1) называется всякая дифференцируемая функция y = (x) , удовлетворяющая этому уравнению, т.е. такая, после подстановки которой в уравнение (1) оно обращается в тождество. График решения ОДУ называется интегральной кривой этого уравнения.

Общее решение ОДУ может быть записано в виде

y = (x)+const , (2)

Частным решением ОДУ называется всякое решение, полученное из общего при определенных значениях произвольных постоянных, входящих в общее решение. Произвольные постоянные определяются из заранее заданных условий. Условия могут быть начальными или граничными.

Постановка соответствующей задачи Коши для ОДУ первого порядка

у' (x)=f (y(x),x) (4)

и одно начальное условие при x=x₀ y(x₀)=y₀ (5)

Требуется определить функцию y(x) на интервале от x₀ до b .

Приближенные методы решение ОДУ можно разделить на две группы:

• аналитические методы, дающие приближенное решение в виде аналитического выражения;

• численные методы, дающие приближенное решение в виде таблицы.

Метод Эйлера относится к численным методам решения ОДУ.

Метод Эйлера.

.

П усть дано ОДУ первого порядка

с начальным условием

Требуется найти решение на отрезке [a , b] .

Семейство интегральных кривых ( сплошная и пунктирные линии) представляет общее решение дифференциального уравнения.

Разобьем отрезок [a,b] на n равных частей, получим последовательность узлов x₀, x₁, . . . , x_n , где x_i = x₀ +ih (i=0,1,…,n), а - шаг интегрирования. Точное решение (сплошная линия) в соответствии с начальными условиями проходит через точку А₀ с координатами (x₀,y₀). Заменим точное решение y =(x) касательной к интегральной кривой в точке А₀ при x=x₀ (рис.10.1)

При x=x₁ получим точку А₁ с ординатой y₁=y₀+htg₀. Но tg₀=y’(x₀) и, учитывая (4), получим y₁=y₀+hf(x₀,y₀), где f(x₀, y₀) - функция, характеризующая наклон касательной в точке А₀. Выполнив аналогичную процедуру в точке А₁, найдем ординату точки А₂ :

y₂=y₁+hf(x₁, y₁).

В общем случае для i-ой точки можно записать y_i+1=y_i+h f(x_i ,y_i ). Глобальная (суммарная) ошибка в конце отрезка [a, b] будет О(h),

Первый модифицированный метод Эйлера.

Сначала на каждом i -ом шаге, как и в методе Эйлера, используя наклон касательной в точке A_i (х=x_i), вычисляют промежуточное значение y_i+1/2 , но не на всей длине шага h , а на его половине в средней точке A_c (х=x_i+1/2 ) каждого интервала [x_i , x_i+1] (Рис.10.2.):

Затем находят направление касательной fi+1/2 в середине интервала в точке Ac (х=xi+1/2=xi+h/2) :

Это направление и принимают за окончательное при вычислении ординаты точки A_i+1 на всем интервале h от точки A_i:

Подставив в последнюю формулу два предыдущих выражения, получим одну результирующую формулу для вычисления ординаты точки A_i+1:

На рис.10.2 точка E при х= x_i+1 была бы получена методом Эйлера, в этом методе будет получена точка A_i+1.

Второй модифицированный метод Эйлера

Этот метод иногда называют методом Эйлера с пересчетом.

Сначала определяют значение ординаты y_E в точке E как и в методе Эйлера (Рис.10.3.): y_E=y_i+hf(x_i, y_i).

В точке E вычисляют направление проходящей через нее интегральной кривой f_E=f(x_i+1,y_E).

В качестве окончательного значения направления кривой на всем отрезке h принимают среднее арифметическое значение от направлений f(x_i , y_i) и f_E , т.е. ординату точки A_i+1, которую вычисляют

по формуле .

Подставив в последнюю формулу два предыдущих выражения, получим одну результирующую формулу для вычисления ординаты точки Ai+1:

.

Локальная погрешность обоих модифицированных методов О(h³) , глобальная - О(h²) .