Раэдел 1.Молекулярная физика.

Тема 1.2.4. Решение задач по теме: «Основы термодинамики». Самостоятельная работа. Обобщение и систематизация знаний по разделу «Молекулярная физика» План

1. Решение задач по теме: «Основы термодинамики».

2. Самостоятельная работа.

3. Обобщение и систематизация знаний по разделу «Молекулярная физика»

1.Решение задач по теме: «Основы термодинамики».

Задача 1.

Нагретую железную болванку поставили на лед, имеющий температуру t₁ = 0 °С. В результате охлаждения болванки до 0 °С под ней расплавилось m₁ = 460 г льда. Какова была температура нагретой болванки, если ее масса m₂ = 3,3 кг? Удельная теплоемкость железа c = 460 Дж/(кг⋅К), удельная теплота плавления льда λ = 3,3⋅10⁵ Дж/кг.

Решение. Происходит теплообмен между двумя телами (лед при температуре t₁ = 0 ºС и железной болванки при температуре t₂). Запишем уравнение теплового баланса для двух тел:

Q₁ + Q₂ = 0,

где Q₂ = c⋅m₂⋅(t₁ – t₂) –количество теплоты, которое отдает железная болванка (Q₂ < 0, т.к. тело отдает тепло).

Лед взят при температуре плавления t₁ = 0 ºС и конечная температура равна 0 °С, поэтому лед будет только плавится и Q₁ = m₁⋅λ.

Тогда

\[ m_{1} \cdot \lambda + c\cdot m_{2} \cdot \left(t_{1} -t_{2} \right) = 0, \;\;\; t_{2} =\frac{m_{1} \cdot \lambda }{c\cdot m_{2} } +t_{1}, \] t₂ = 100 °C.

Задача 2.

С какой скоростью должна удариться о преграду свинцовая пуля, чтобы она расплавилась, если до удара температура пули была Τ = 373 К? При ударе на нагревание пули идет η = 0,60 ее энергии. Температура плавления свинца Т₂ = 600 К, его удельная теплоемкость с = 130 Дж/(кг⋅К), удельная теплота плавления λ = 30⋅10³ Дж/кг. Решение. Свинец плавится при температуре T₂ > T, поэтому свинец необходимо вначале нагреть от температуры T до T₂, а затем только его можно будет расплавить. При этом понадобится количество теплоты, равное

Q = Q₁ + Q₂,

где Q₁ = c⋅m⋅(T₂ – T), Q₂ = m⋅λ.

Пуля перед ударом имела механическую энергию, равную \[ W=\frac{m\cdot \upsilon ^{2} }{2} \] (потенциальную энергию считаем равной нулю). По условию на нагревание пошла только часть η всей механической энергии пули. Тогда \[ Q=\eta \cdot W, \;\;\; c\cdot m\cdot \left(T_{2} -T\right)+m\cdot \lambda =\eta \cdot \frac{m\cdot \upsilon ^{2}}{2}, \; \; \; \upsilon =\sqrt{\frac{2c\cdot \left(T_{2} -T\right)+\lambda }{\eta }}, \] υ = 385 м/с.

Задача 3.

Найти массу льда, имеющего температуру t = –10 °С, который можно растопить за τ = 10 мин с помощью электрического нагревателя, работающего при токе силой I = 3 А от сети с напряжением U = 220 В? КПД нагревателя η = 80%. Удельная теплоемкость льда с = 2,1⋅10³ Дж/(кг⋅К), удельная теплота плавления льда λ = 3,3⋅10⁵ Дж/кг.

Решение. Лед взят при температуре t = –10 °С, плавится он при температуре t₀ = 0 °С, поэтому его вначале нужно нагреть, а затем только он будет плавиться. При этом понадобится количество теплоты, равное

Q = Q₁ + Q₂, (1)

где Q₁ = c⋅m⋅(t₀ – t), Q₂ = m⋅λ. Эту энергию лед получит от электрического нагревателя, работа которого равна

A = U⋅I⋅τ. (2)

КПД нагревателя

  \[ \eta =\frac{A_{n} }{A_{3}}, \] где η = 0,80, A_n = Q — полезная работа, A₃ = A — затраченная работа. С учетом уравнений (1) и (2) получаем: \[ \eta =\frac{m\cdot \left(c\cdot \left(t_{0} -t\right)+\lambda \right)}{U\cdot I\cdot \tau }, \; \; \; m=\; \frac{\eta \cdot U\cdot I\cdot \tau }{c\cdot \left(t_{0} -t\right)+\lambda }, \] m = 0,9 кг. Примечание. В условию нужно добавить: «Температура плавления льда равна 0 °С».

Задача 4.

В кастрюлю налили холодной воды при температуре t₁ = 10 °С и поставили ее на электроплиту. Через время τ₁ = 5,0 мин вода закипела. Через сколько времени после начала кипения вода полностью испарится? Удельная теплоемкость воды с = 4,19⋅10³ Дж/(кг⋅К), удельная теплота парообразования воды r = 2,26⋅10⁶ Дж/кг. Кипение происходит в открытой кастрюле при нормальном давлении.

Решение. Пусть P — мощность электроплитки. Чтобы вода закипела, ее нужно нагреть от температуры t₁ = 10 °С до температуры кипения t₀ = 100 °С. При этом понадобится количество теплоты, равное

Q₁ = c⋅m⋅(t₀ – t₁) = P⋅τ₁. (1)

Количество теплоты, необходимое для полного испарения, равно

Q₂ = m⋅r = P⋅τ₂. (2)

Решим систему уравнений (1) и (2). Например, \[ \frac{m\cdot r}{c\cdot m\cdot \left(t_{0} -t_{1} \right)} =\frac{P\cdot \tau _{2} }{P\cdot \tau _{1}}, \;\;\; \frac{r}{c\cdot \left(t_{0} -t_{1} \right)} =\frac{\tau _{2}}{\tau _{1}}, \;\;\; \tau _{2} = \frac{r \cdot \tau _{1}}{c \cdot \left(t_{0} -t_{1} \right)}, \] τ₂ = 30 мин. Примечание. В условию нужно добавить: «Температура кипения воды равна 100 °С».

Задача 5.

В сосуд, содержащий m₁ = 2,35 кг воды при температуре Τ₁ = 293 К, опускают кусок олова, нагретого до температуры Т₂ = 503 К. Температура воды в сосуде повысилась на ΔT = 15 К. Вычислить массу олова. Испарением воды пренебречь. Удельная теплоемкость воды c₁ = 4,19 ⋅10³ Дж/(кг⋅К), олова c₂ = 2,5⋅10² Дж/(кг⋅К). Решение. Происходит теплообмен между двумя телами (вода при температуре T₁ и олово при температуре T₂). При этом вода нагревается и получает количество теплоты Q₁ равное (испарением воды пренебречь):

Q₁ = c₁⋅m₁⋅ΔT,

где Q₁ > 0, т.к. тело получает тепло. Так как температура плавления олова T_пл = 505 К, и T₂ < T_пл, то олово находится в твердом состоянии. Олово охлаждает и отдает количество теплоты Q₂ равное:

Q₂ = c₂⋅m₂⋅(T₃ – T₂),

где Q₂ < 0, т.к. тело отдает тепло, m₂ — масса олова, T₃ = T₁ + ΔT — конечная температура олова. Запишем уравнение теплового баланса для двух тел:

Q₁ + Q₂ = 0 или

c₁⋅m₁⋅ΔT + c₂⋅m₂⋅(T₃ – T₂) = 0.

Тогда \[ m_{2} =-\frac{c_{1} \cdot m_{1} \cdot \Delta T}{c_{2} \cdot \left(T_{3} -T_{2} \right)} =\frac{c_{1} \cdot m_{1} \cdot \Delta T}{c_{2} \cdot \left(T_{2} -T_{1} -\Delta T\right)}, \] m₂ = 3 кг. Примечание. В условие надо добавить температуру плавления олова.

Задача 6.

454. При нормальном атмосферном давлении некоторую массу воды нагревают до температуры кипения, пропуская через нее пар при температуре t₁ = 100 °С. Во сколько раз увеличится масса воды, когда она достигнет температуры кипения? Начальная температура воды t₂ = 20 °С, ее удельная теплоемкость и удельная теплота парообразования — соответственно с = 4,19⋅10³ Дж/(кг⋅К), r = 22,6⋅10⁵ Дж/кг. Решение. Происходит теплообмен между двумя телами (пар при температуре t₁ и вода при температуре t₂). Пар находится при температуре кипения t₁, поэтому при передаче теплоты воде пар сразу начнет конденсироваться. Так как конечная температура смеси вода-пар так же равна температуре кипения t₁, то пар охлаждаться не будет. При этом выделится количество теплоты Q₁ равное

Q₁ = m₁⋅r,

где Q₁ < 0, т.к. тело отдает тепло, m₁ — масса сконденсировавшегося пара. Вода будет нагреваться от температуры t₂ до t₁ и получает при этом количество теплоты Q₂ равное

Q₂ = c⋅m₂⋅(t₁ – t₂),

где Q₁ > 0, т.к. тело получает тепло, m₂ — масса воды. Запишем уравнение теплового баланса для двух тел:

Q₁ + Q₂ = 0 или c⋅m₂⋅(t₁ – t₂) – m₁⋅r = 0

или \[ m_{1} \cdot r=c\cdot m_{2} \cdot \left(t_{1} -t_{2} \right), \; \; \; \frac{m_{1} }{m_{2} } =\frac{c\cdot \left(t_{1} -t_{2} \right)}{r}. \; \; \; (1) \] При нагревании воды массой m₂ до температуры t₁ сконденсируется пар массой m₁, и поэтому масса воды станет равной

m = m₁ + m₂.

Тогда увеличение массы воды, с учетом уравнения (1), будет равно \[ \frac{m}{m_{2} } =\frac{m_{1} +m_{2} }{m_{2} } =\frac{m_{1} }{m_{2} } +1=\frac{c\cdot \left(t_{1} -t_{2} \right)}{r} +1, \; \; \; \frac{m}{m_{2} } =1,15. \] Примечание. В условие надо добавить температуру кипения воды при нормальном давлении.

Задача 7.

В калориметр налито m₁ = 2,0 кг воды при температуре t₁ = 6,0 °С и положен кусок льда массой m₂ = 2,0 кг, температура которого t₂ = –20 °С. Каково будет содержимое калориметра после установления теплового равновесия? Теплоемкостью калориметра и теплообменом с внешней средой пренебречь. Удельная теплоемкость воды с₁ = 4,19⋅10³ Дж/(кг⋅К), льда с₂ = 2,1⋅10³ Дж/(кг⋅К), удельная теплота плавления льда λ = 3,3⋅10⁵ Дж/кг. Решение. Происходит теплообмен между двумя телами (вода при температуре t₁ и лед при температуре t₂). В задаче неизвестна конечная температура смеси, поэтому мы не можем сразу определить все фазовые переходы. Можем только утверждать, что вода будет охлаждаться, а лед нагреваться. Определим, сколько максимально энергии Q_1max может выделится при охлаждении воды от температуры t₁ до t₀ = 0 °С (температуры замерзания воды) (Q_1max < 0, т.к. тело отдает тепло), и сколько максимально энергии Q_2max необходимо для нагревания льда от температуры t₂ до t₀ = 0 °С (температуры плавления льда):

Q_1max = с₁⋅m₁⋅(t₀ – t₁),   Q_2max = с₂⋅m₂⋅(t₀ – t₂),

Q_1max = –5,03⋅10⁴ Дж, Q_2max = 8,40⋅10⁴ Дж. Так как |Q_1max| < Q_2max, то энергии, которая выделится при охлаждении воды не хватает, для того, чтобы нагреть лед до температуры плавления t₀. Следовательно, вода охладиться до температуры t₀ и начнет замерзать. Определим, достаточно ли энергии выделит вода при полном замерзании (кристаллизации) Q_3max, чтобы нагреть лед до температуры t₀.

Q_3max = –m₁⋅λ,

Q_3max = –6,6⋅10⁵ Дж, Q_1max + Q_3max = -7,10⋅10⁵ Дж. Так как |Q_1max + Q_3max| > Q_2max, то энергии, которая выделится при охлаждении и замерзании воды, достаточно, чтобы нагреть лед до температуры t₀. Следовательно, температура смеси будет равна t₀ = 0 °С. В итоге получаем, что вода будет охлаждаться до температуры t₀ и часть ее (массой m₃) замерзнет. При этом вода выделит количество теплоты Q₁ равное:

Q₁ = с₁⋅m₁⋅(t₀ – t₁) – m₃⋅λ.

Лед будет только нагреваться до температуры t₀ и получит количество теплоты Q₂ равное:

Q₂ = с₂⋅m₂⋅(t₀ – t₂).

Запишем уравнение теплового баланса для двух тел:

Q₁ + Q₂ = 0 или с₁⋅m₁⋅(t₀ – t₁) – m₃⋅λ + с₂⋅m₂⋅(t₀ – t₂) = 0.

\[ m_{3} =\frac{c_{2} \cdot m_{2} \cdot \left(t_{0} -t_{2} \right)+c_{1} \cdot m_{1} \cdot \left(t_{0} -t_{1} \right)}{\lambda }, \] m₃ = 0,10 кг. В калориметре будет вода массой m₁ – m₃ = 1,9 кг, И лед, массой m₂ + m₃ = 2,1 кг. Примечание. В условие надо добавить температуру плавления льда.