2. Построение аддитивной и мультипликативной тренд-сезонных моделей временного ряда

Для исследования периодических колебаний необходимо отфильтровать из временного ряда периодическую компоненту, а затем уже анализировать её динамику. Большинство методов фильтрации построено таким образом, что предварительно выделяется тренд, а затем уже периодическая компонента. Чаще всего для выделения тренда, перед расчётом периодической компоненты, используют методы механического сглаживания. Процесс выделения компоненты временного ряда: тренда (T), периодической компоненты (S) и случайной компоненты () называется фильтрацией. В настоящее время развивается три основных направления фильтрации компонент временного ряда: регрессионные, спектральные и итерационные.

Замечание. В прикладных пакетах анализа метод расчета сезонных компонент известен как метод Census I. Существует также усовершенствованный с помощью различных приемов метод Census II, учитывающий, например, такой циклический фактор, как эффект конца рабочей недели или эффект выходного дня.

Существует несколько основных методов моделирования сезонных и циклических колебаний. К ним относятся:

• расчёт сезонной компоненты и построение аддитивной или мультипликативной модели временного ряда;

• применение сезонных фиктивных переменных;

• использование рядов Фурье.

Если амплитуда сезонных колебаний не меняется во времени, то применяют аддитивную модель временного ряда следующего вида:

, (10.3)

где T – трендовая компонента, S – сезонная компонента,  – случайная составляющая.

Если амплитуда сезонных колебаний со временем изменяется, то применяется мультипликативная модель временного ряда следующего вида:

. (10.4)

В качестве сезонной составляющей для аддитивной модели временного ряда применяют абсолютное отклонение , а для мультипликативной – индекс сезонности . Данные сезонные компоненты должны удовлетворять следующим требованиям:

1) в случае аддитивной модели сумма всех сезонных компонент (абсолютных отклонений ) должна быть равна нулю;

2) в случае мультипликативной модели произведение всех сезонных компонент (индексов сезонности ) должно быть равно единице.

Перед расчётом сезонной компоненты исходный ряд подвергают процедуре выравнивания, обычно методами механического сглаживания. В результате получают ряд выровненных значений , который не содержит сезонной компоненты.

Абсолютное отклонение в i-м сезоне рассчитывается как среднее арифметическое отклонение фактического и сглаженного уровней ряда:

.

Индекс сезонности в i-ом сезоне рассчитывается как среднее арифметическое отношений фактического уровня ряда к сглаженному:

.

При расчете тренда временного ряда используется метод аналитического выравнивания с помощью функций времени или кривых роста. Этот метод применяется не к исходному фактическому временному ряду, а к ряду, из которого удалена сезонная компонента. Таким образом, начальные уровни ряда корректируются на величину сезонной компоненты. В случае аддитивной модели из исходных уровней вычитаются абсолютные отклонения Sa_i. При наличии мультипликативной модели начальные уровни временного ряда делятся на индексы сезонности Is_i.

Если при построении аддитивной модели сумма всех абсолютных отклонений не равна нулю, то рассчитывают скорректированные значения сезонных компонент:

,

где L – общее количество сезонных компонент.

Если при построении мультипликативной модели произведение всех индексов сезонности не равна единице, то рассчитывают скорректированные значения сезонных компонент:

.

Пример 10.2. Построить аддитивную и мультипликативную модели по результатам примера 10.1.

Решение. Тренд примем по результатам центрированной четырехуровневой скользящей средней и рассчитаем сезонную составляющую для аддитивной и мультипликативной моделей.

Таблица 10.2

№ квартала, t	Потребление электроэнергии, yt	Центрирования скользящая средняя	Оценка сезонной компоненты Sai	Оценка индекса сезонности Isi
1	6,0		–	–
2	4,4		–	–
3	5,0	6,250	–1,250	0,8000
4	9,0	6,450	2,550	1,3953
5	7,2	6,625	0,575	1,0868
6	4,8	6,875	–2,075	0,6982
7	6,0	7,100	–1,100	0,8451
8	10,0	7,300	2,700	1,3699
9	8,0	7,450	0,550	1,0738
10	5,6	7,650	–2,025	0,7344
11	6,4	7,875	–1,475	0,8127
12	11,0	8,125	2,875	1,3538
13	9,0	8,325	0,675	1,0811
14	6,6	8,375	–1,775	0,7881
15	7,0		–	–
16	10,8		–	–

Используем эти оценки для расчета значений сезонной компоненты S в аддитивной модели (таб. 10.2). Для этого найдем средние за каждый квартал (по всем годам) оценки сезонной компоненты S. В моделях с сезонной компонентой обычно предполагается, что сезонные воздействия за период взаимопогашаются. В аддитивной модели это выражается в том, что сумма значений сезонной компоненты по всем кварталам должна быть равна нулю.

Таблица 10.3