11 Лекция 14

ЛЕКЦИЯ 14

Моделирование периодических колебаний. Показатели интенсивности колеблемости. Построение аддитивной и мультипликативной моделей временного ряда. Методы измерения устойчивости во временных рядах. Прогнозирование на основе тренда и колеблемости.

10. ВРЕМЕННЫЕ РЯДЫ II. МОДЕЛИРОВАНИЕ ПЕРИОДИЧЕСКИХ КОЛЕБАНИЙ

1. МОДЕЛИРОВАНИЕ СЕЗОННЫХ КОЛЕБАНИЙ

   1. Показатели интенсивности колеблемости

При изучении тенденции временного ряда колебания уровней играли лишь роль помех, от которых следовало по возможности абстрагироваться. Однако сама колеблемость также представляет собой важный предмет статистического исследования временных рядов. Значение колеблемости многогранно. Учёт колеблемости позволяет сделать прогноз более надёжным и точным.

Типы колебаний статистических показателей весьма разнообразны, но все же можно выделить три основные из них: пилообразную или маятниковую колеблемость, циклическую долгопериодическую и случайно распределенную во времени колеблемость. Их свойства и отличия друг от друга хорошо видны при графическом изображении временных рядов (рис.10.1).

Пилообразная или маятниковая колеблемость состоит в попеременных отклонениях уровней от тренда в одну и в другую сторону. Таковы автоколебания маятника. Такие автоколебания, например, можно наблюдать в динамике урожайности при невысоком уровне агротехники.

Циклическая долгопериодическая колеблемость свойственна, например, солнечной активности (10-11-летние циклы), а, значит, и связанным с ней на Земле процессом – урожайности отдельных культур в ряде районов, некоторым заболеваниям людей и растений. Для этого типа характерны редкая смена знаков отклонений и кумулятивный (накапливающийся) эффект отклонений одного знака, который может отражаться на экономике. Зато колебания хорошо прогнозируются.

Случайно распределенная во времени колеблемость – нерегулярная, хаотическая. Она может возникать при наложении (интерференции) множества колебаний с разными по длительности циклами. Но может возникать в результате столь же хаотической колеблемости главной причины существования колебаний, например суммы осадков за летний период, температуры воздуха в среднем за месяц в разные годы.

Рис. 10.1б

Рис. 10.1в

На основе качественного содержания понятия колеблемости строится и система её показателей. Показателями колебаний уровней являются: амплитуда отклонений уровней отдельных периодов или моментов от тренда (по модулю), среднее абсолютное отклонение уровней от тренда (по модулю), среднее квадратичное отклонение уровней от тренда. Относительные меры колеблемости: относительное линейное отклонение от тренда и коэффициент колеблемости.

Особенности методики вычисления средних отклонений от тренда является необходимость учета потерь степеней свободы колебаний на величину, равную числу параметров уравнения тренда. Учитывая потерю степеней свободы, основные абсолютные показатели колеблемости вычисляются по формулам:

(10.1)

– среднее линейное отклонение;

(10.2)

– среднее квадратичное отклонение.

Относительные показатели колеблемости вычисляются делением абсолютных показателей на средний уровень за весь изучаемый период.

Для правильного измерения сезонных колебаний очень важно, чтобы тренд был рассчитан правильно. Чаще всего перед расчётом сезонной составляющей исходный временной ряд выравнивают методами механического сглаживания.

Пример 10.1. Провести расчёт показателей колеблемости по результатам примера 9.2.

Решение. Тренд примем по результатам центрированной четырехуровневой скользящей средней.

Таблица 10.1

t	yt	Четырехуровневые скользящие средние (нецентрированные)	Четырехуровневые скользящие средние (центрированные)	Оценка сезонной компоненты St
1	6,0	6,10 6,40 6,50 6,75 7,00 7,20 7,40 7,50 7,75 8,00 8,25 8,40 8,35	–	–	–	–
2	4,4		–	–	–	–
3	5,0		6,250	–1,250	1,250	1,563
4	9,0		6,450	2,550	2,550	6,503
5	7,2		6,625	0,575	0,575	0,331
6	4,8		6,875	–2,075	2,075	4,306
7	6,0		7,100	–1,100	1,100	1,210
8	10,0		7,300	2,700	2,700	7,290
9	8,0		7,450	0,550	0,550	0,303
10	5,6		7,650	–2,025	2,025	4,101
11	6,4		7,875	–1,475	1,475	2,176
12	11,0		8,125	2,875	2,875	8,266
13	9,0		8,325	0,675	0,675	0,456
14	6,6		8,375	–1,775	1,775	3,151
15	7,0		–	–	–	–
16	10,8		–	–	–	–
	116,8				19,625	39,652

Амплитуда колебаний составила от –2,075 в 6 квартале до 2,875 в 12 квартале, т.е. 4,95 пункта.

Среднее линейное отклонение найдём, сложив модули , и разделив на (n–p):

пункта.

Среднее квадратичное отклонение уровней от тренда найдём по формуле (10.2):

пункта.

Небольшое превышение среднее квадратичного отклонения над линейным указывает на отсутствие среди отклонений резко выделяющихся по абсолютной величине.

Среднее значение уровней за изучаемый период равно

.

Тогда коэффициент колеблемости будет равен

,

или 27,3%. Таким образом, колеблемость достаточно сильная. 