2. Автокорреляция уровней временного ряда

В значительной части временных рядов между уровнями, особенно близко расположенных, существует взаимосвязь, т.е. значения каждого последующего уровня ряда зависят от предыдущих. Корреляционную зависимость между последовательными уровнями временного ряда называют автокорреляцией уровней ряда. Количественно ее можно измерить с помощью коэффициента корреляции между уровнями исходного временного ряда и уровнями этого ряда, сдвинутых на несколько шагов во времени. Число уровней, по которым рассчитывается коэффициент автокорреляции, называется лагом.

Определим коэффициент корреляции между рядами y_t и y_t-1, т.е. коэффициент автокорреляции 1-го порядка

, (9.14)

где

, .

Отметим, что расчет коэффициента автокорреляции производится по (n–1), а не по n парам наблюдений.

Определим теперь коэффициент автокорреляции 2-го порядка, коэффициент корреляции между рядами y_t и y_t-2, т.е.

, (9.15)

где

, .

Отметим, что расчет коэффициента автокорреляции 2-го порядка уже будет производится по (n–2) парам наблюдений.

Следует учитывать, что с увеличением лага число пар значений, по которым рассчитывается коэффициент автокорреляции, уменьшается. Поэтому некоторые авторы считают целесообразным для обеспечения статистической достоверности коэффициентов автокорреляции использовать правило – максимальный порядок коэффициента автокорреляции не должен превышать n/4.

Отметим два важных свойства коэффициента автокорреляции:

Во-первых, он строится по аналогии с обычным коэффициентом корреляции и таким образом характеризует тесноту только линейной связи текущего и предыдущего уровней ряда. Поэтому по коэффициентам автокорреляции можно судить о наличии линейной (или близкой к линейной) тенденции. Для некоторых временных рядов, имеющих сильную нелинейную тенденцию (например, парабола или экспонента), коэффициенты автокорреляции уровней могут приближаться к нулю.

Во-вторых, по знаку коэффициента автокорреляции нельзя делать вывод о возрастающей или убывающей тенденции в уровнях ряда. Большинство временных рядов экономических данных содержит положительную автокорреляцию уровней, однако при этом могут иметь убывающую тенденцию.

По длинному временному ряду можно определить серию коэффициентов автокорреляции, последовательно увеличивая величину лага: r₁, r₂, r₃, … Последовательность коэффициентов автокорреляции называется автокорреляционной функцией временного ряда. График зависимости значений коэффициентов автокорреляции от величины лага (порядка коэффициента автокорреляции) называют коррелограммой.

Анализ автокорреляционной функции и коррелограммы позволяет уточнить структуру временного ряда, выявить наличие или отсутствие в нём тенденции или периодических колебаний. Если временной ряд характеризуется чётко выраженной линейной тенденцией, то для него коэффициент автокорреляции 1-го порядка приближается к 1. Если же временной ряд содержит периодические колебания, то и автокорреляционная функция также будет содержать периодические колебания. Если временной ряд не содержит периодических колебаний, то коррелограмма представляет собой затухающую функцию, т.е. коэффициенты автокорреляции высоких порядков приближаются к нулю.

Анализ коррелограммы – это порой довольно непростая задача. Поэтому мы кратко остановимся на типичном поведении коррелограмм для некоторых классов временных рядов. Для начала рассмотрим поведение коррелограммы для некоторых нестационарных временных рядов. На графиках кроме значений самой функции, обычно указывают доверительные пределы этой функции

Для временного ряда, содержащего тренд, коррелограмма не стремится к нулю с ростом значения лага . Ее характерное поведение изображено на рис.9.1.

Рис. 9.1. Коррелограмма ряда урожайности зерновых культур в СССР с 1945 по 1989 гг. в ц/га: а) исходный временной ряд; б) его коррелограмма.

Для временного ряда с сезонными колебаниями коррелограмма также будет содержать периодические всплески, соответствующие периоду сезонных колебаний. Это позволяет устанавливать предполагаемый период сезонности. Типичное поведение коррелограммы приведено на рис.9.2.

Рис. 9.2. Коррелограмма ряда месячных продаж шампанского за 7 последовательных лет в логарифмической шкале (после удаления линейного тренда): а) преобразованный исходный временной ряд; б) его коррелограмма.

Пример 9.1. Пусть имеются следующие условные данные о средних расходах на конечное потребление (y_t, ден. ед.) за 8 лет:

t	1	2	3	4	5	6	7	8
yt	213	171	291	309	317	362	351	361

Найти коэффициенты автокорреляции 1-го и 2-го порядков.

Решение. Вычислим коэффициент автокорреляции 1-го порядка, для этого составим таблицу, содержащую промежуточные вычисления:

t	yt	yt+1	yt–y1	yt+1–y2	(yt–y1)(yt+1–y2)	(yt–y1)2	(yt+1–y2)2
1	213	–	–	–	–	–	–
2	171	213	-137,857	-74,714	10299,898	19004,592	5582,224
3	291	171	-17,857	-116,714	2084,184	318,878	13622,224
4	309	291	0,143	3,286	0,469	0,020	10,796
5	317	309	8,143	21,286	173,327	66,306	453,082
6	362	317	53,143	29,286	1556,327	2824,163	857,653
7	351	362	42,143	74,286	3130,612	1776,020	5518,367
8	361	351	52,143	63,286	3299,898	2718,878	4005,082
	2162	2014	–	–	20544,714	26708,857	30049,429

Поскольку

, ,

то

, .

Тогда

Полученное значение свидетельствует о тесной зависимости между расходами на конечное потребление текущего и непосредственно предшествующего годов и, следовательно, о наличии во временном ряде расходов на конечное потребление линейной тенденции (рис. 9.3).

Рис. 9.3

Вычислим коэффициент автокорреляции 2-го порядка, для этого составим таблицу, содержащую промежуточные вычисления:

t	yt	yt+2	yt–y3	yt+2–y4	(yt–y3)(yt+2–y4)	(yt–y3)2	(yt+2–y4)2
1	213	–	–	–	–	–	–
2	171	–	–	–	–	–	–
3	291	213	-40,833	-64,167	2620,139	1667,361	4117,361
4	309	171	-22,833	-106,167	2424,139	521,361	11271,361
5	317	291	-14,833	13,833	-205,194	220,028	191,361
6	362	309	30,167	31,833	960,306	910,028	1013,361
7	351	317	19,167	39,833	763,472	367,361	1586,694
8	361	362	29,167	84,833	2474,306	850,694	7196,694
	1991	1663	–	–	9037,167	4536,833	25376,833

Поскольку

, ,

то , . Тогда

_{Полученный результат еще раз подтверждает вывод о том, что временной ряд расходов на конечное потребление содержит линейную тенденцию.}

Пример 9.2. Имеются поквартальные условные данные об объемах потребления электроэнергии жителями региона.

Таблица 9.7

Номер квартала	Потребление электроэнергии жителями региона, млн. кВтч	Номер квартала	Потребление электроэнергии жителями региона, млн. кВтч
1	6,0	9	8,0
2	4,4	10	5,6
3	5,0	11	6,4
4	9,0	12	11,0
5	7,2	13	9,0
6	4,8	14	6,6
7	6,0	15	7,0
8	10,0	16	10,8

Построить автокорреляционную функцию временного ряда.

Решение. Для расчета коэффициентов автокорреляции исходного временного ряда составим таблицу (табл. 9.8):

Таблица 9.8

t	yt	yt-1	yt-2	yt-3	yt-4	yt-5	yt-6
1	6,0	–	–	–	–	–	–
2	4,4	6,0	–	–	–	–	–
3	5,0	4,4	6,0	–	–	–	–
4	9,0	5,0	4,4	6,0	–	–	–
5	7,2	9,0	5,0	4,4	6,0	–	–
6	4,8	7,2	9,0	5,0	4,4	6,0	–
7	6,0	4,8	7,2	9,0	5,0	4,4	6,0
8	10,0	6,0	4,8	7,2	9,0	5,0	4,4
9	8,0	10,0	6,0	4,8	7,2	9,0	5,0
10	5,6	8,0	10,0	6,0	4,8	7,2	9,0
11	6,4	5,6	8,0	10,0	6,0	4,8	7,2
12	11,0	6,4	5,6	8,0	10,0	6,0	4,8
13	9,0	11,0	6,4	5,6	8,0	10,0	6,0
14	6,6	9,0	11,0	6,4	5,6	8,0	10,0
15	7,0	6,6	9,0	11,0	6,4	5,6	8,0
16	10,8	7,0	6,6	9,0	11,0	6,4	5,6

Определим коэффициент корреляции между рядами y_t и y_t-1, т.е. коэффициент автокорреляции 1-го порядка. Отметим, что расчет коэффициента автокорреляции производится по 15, а не по 16 парам наблюдений. Составим таблицу для расчета коэффициента автокорреляции 1-го порядка (таб. 9.9):

Таблица 9.9

t	yt	yt-1
1	6,0	–	–	–	–	–	–
2	4,4	6,0	-2,987	-1,067	3,186	8,920	1,138
3	5,0	4,4	-2,387	-2,667	6,364	5,696	7,111
4	9,0	5,0	1,613	-2,067	-3,334	2,603	4,271
5	7,2	9,0	-0,187	1,933	-0,361	0,035	3,738
6	4,8	7,2	-2,587	0,133	-0,345	6,691	0,018
7	6,0	4,8	-1,387	-2,267	3,143	1,923	5,138
8	10,0	6,0	2,613	-1,067	-2,788	6,830	1,138
9	8,0	10,0	0,613	2,933	1,799	0,376	8,604
10	5,6	8,0	-1,787	0,933	-1,668	3,192	0,871
11	6,4	5,6	-0,987	-1,467	1,447	0,974	2,151
12	11,0	6,4	3,613	-0,667	-2,409	13,056	0,444
13	9,0	11,0	1,613	3,933	6,346	2,603	15,471
14	6,6	9,0	-0,787	1,933	-1,521	0,619	3,738
15	7,0	6,6	-0,387	-0,467	0,180	0,150	0,218
16	10,8	7,0	3,413	-0,067	-0,228	11,651	0,004
Среднее	110,8	106			9,813	65,317	54,053

По данным таблицы находим

, .

Используя формулу (9.14), находим

.

Определим теперь коэффициент автокорреляции 2-го порядка, коэффициент корреляции между рядами y_t и y_t-2. Отметим, что расчет коэффициента автокорреляции 2-го порядка уже будет производиться по 14 парам наблюдений. Составим таблицу для расчета коэффициента автокорреляции 2-го порядка (таб. 9.10):

Таблица 9.10

t	yt	yt-2
1	6,0	–	–	–	–	–	–
2	4,4	–	–	–	–	–	–
3	5,0	6,0	-2,600	-1,071	2,786	6,760	1,148
4	9,0	4,4	1,400	-2,671	-3,740	1,960	7,137
5	7,2	5,0	-0,400	-2,071	0,829	0,160	4,291
6	4,8	9,0	-2,800	1,929	-5,400	7,840	3,719
7	6,0	7,2	-1,600	0,129	-0,206	2,560	0,017
8	10,0	4,8	2,400	-2,271	-5,451	5,760	5,159
9	8,0	6,0	0,400	-1,071	-0,429	0,160	1,148
10	5,6	10,0	-2,000	2,929	-5,857	4,000	8,577
11	6,4	8,0	-1,200	0,929	-1,114	1,440	0,862
12	11,0	5,6	3,400	-1,471	-5,003	11,560	2,165
13	9,0	6,4	1,400	-0,671	-0,940	1,960	0,451
14	6,6	11,0	-1,000	3,929	-3,929	1,000	15,434
15	7,0	9,0	-0,600	1,929	-1,157	0,360	3,719
16	10,8	6,6	3,200	-0,471	-1,509	10,240	0,222
Среднее	106,4	99			-31,120	55,760	54,049

По данным таблицы находим

, .

Используя формулу (9.15), находим

.

Аналогичным образом рассчитываем коэффициенты автокорреляции 3-го и более высоких порядков. (Заметим, что в программе Exel коэффициенты корреляции рассчитываются при помощи функции КОРРЕЛ). В результате получим автокорреляционную функцию исходного временного ряда. Ее значения и коррелограмма приведены в таб. 9.11.

Таблица 9.11

Лаг	Коэффициент автокорреляции уровней временного ряда	Коррелограмма
1	0,1651548
2	-0,5668734
3	0,1135581
4	0,9830252
5	0,1187113
6	-0,7220463
7	-0,0033676
8	0,9738481

Анализ значений автокорреляционной функции позволяет сделать вывод о наличии в изучаемом временном ряде, во-первых, линейной тенденции, во-вторых, сезонных колебаний периодичностью в четыре квартала. Данный вывод подтверждается и графическим анализом структуры ряда (см. рис. 9.1).

Рис. 9.4

Пример 9.3. Инвестиции в основной капитал России за 1996-1999 гг. характеризуется следующими данными:

Таблица 9.12

Номер квартала	Год	Инвестиции, трлн. руб.	Номер квартала	Год	Инвестиции, трлн. руб.
1	1996	57,8	9	1998	71,9
2		75,2	10		83,9
3		85,2	11		107,1
4		157,8	12		139,5
5	1997	73,2	13	1999	95,2
6		85,4	14		127,0
7		108,9	15		182,6
8		141,3	16		254,5

Построить автокорреляционную функцию временного ряда.

Решение. Из рис. 9.5 видно, что ряд развивается периодически: рост инвестиций в начале года и спад их в I квартале, т.е. повторение движения уровней ряда из года в год с лагом в четыре квартала.

Рис. 9.5

Эту же величину подтверждает и автокорреляционная функция:

Таблица 9.13

Лаг	Коэффициент автокорреляции уровней временного ряда	Коррелограмма
1	0,470592
2	0,037307
3	0,028097
4	0,702999
5	-0,05731
6	-0,2916
7	-0,04014
8	0,747767
9	0,121037
10	-0,07538
11	0,178292
12	0,953762

Коэффициенты автокорреляции систематически возрастают через интервал лага, равный четырём. Вместе с тем следует иметь в виду, что при увеличении лага уменьшается число наблюдений, на которых базируется значение коэффициента автокорреляции. Поэтому коэффициенты автокорреляции высоких порядков оказываются менее сопоставимыми и менее надёжными, чем коэффициенты автокорреляции с меньшей величиной лага. Так в нашем примере r₁₂=0,953762 базируется всего на четырёх наблюдениях, и на его величине вряд ли можно придавать особое экономическое значение: он приведён только для подтверждения вывода, что коэффициенты автокорреляции приобретают существенные значения лишь при интервале запаздывания, кратном четырём.