2. Проверка гипотез относительно коэффициентов регрессии

Эмпирическое уравнение регрессии определяется на основе конечного числа статистических данных. Поэтому коэффициенты эмпирического уравнения регрессии являются случайными величинами, изменяющимися от выборки к выборке. Наиболее важной на начальном этапе статистического анализа построенной модели является задача установления значимости коэффициентов регрессии. Данный анализ осуществляется по схеме статистической проверки гипотез.

Можно показать, что в случае классической нормальной линейной регрессионной модели оценка дисперсии S² случайных отклонений является независимой от b₀ и b₁ случайной величиной. Это позволяет построить статистики для проверки статистических гипотез.

В предыдущей лекции мы получили дисперсии оценок b₀ и b₁ коэффициентов регрессии в том случае, если ² известно. На практике, как правило, дисперсия отклонений ² неизвестна и оценивается по наблюдениям одновременно с коэффициентами регрессии b₀ и b₁. В этом случае вместо дисперсий оценок b₀ и b₁ мы можем получить лишь оценки дисперсий b₀ и b₁, заменив ² на S². Тогда

, (5.35)

, (5.36)

. (5.37)

Величины и называются стандартными ошибками коэффициентов регрессии коэффициентов ₀ и ₁, соответственно.

Для проверки гипотезы H₀:b₁=₁ при альтернативной гипотезе H₁:b₁₁ используется статистика

, (5.38)

которая при справедливости H₀ имеет распределение Стьюдента с числом степеней свободы k=n–2. Следовательно, H₀ отклоняется на основании данного критерия, если

, (5.39)

где  – требуемый уровень значимости. При невыполнении (5.39) считается, что нет оснований для отклонения H₀.

Наиболее важной на начальном этапе статистического анализа построенной модели является проверка гипотезы H₀:b₁=0 при альтернативной гипотезе H₁:b₁0. Гипотеза в такой постановке называется гипотезой о статистической значимости коэффициента регрессии. При этом, если гипотеза H₀ принимается, то есть все основания считать, что величина Y не зависит от X. В этом случае говорят, что коэффициент b₁ статистически незначим. При отклонении гипотезы H₀ коэффициент b₁ считается статистически значимым, что указывает на наличие линейной зависимости между Y и X. В данном случае рассматривается двусторонняя критическая область, т.к. важным является именно отличие от нуля коэффициента регрессии, а он может быть как положительным, так и отрицательным.

Поскольку полагается, ₁=0, то формальная значимость оцененного коэффициента регрессии b₁ проверяется при помощи критерия

, (5.40)

который называется t-статистикой (t-тестом).

По аналогичной схеме на основе t-статистики проверяется гипотеза о статистической значимости коэффициента b₀:

. (5.41)

Отметим, что для парной регрессии более важным является анализ статистической значимости коэффициента b₁, т.к. именно в нем скрыто влияние объясняющей переменной X на зависимую переменную Y.

Отметим также, что значения критериев (5.40) и (5.41) приводят всеми компьютерными пакетами в результатах регрессии. В учебниках и монографиях по эконометрике наблюдаемые значения t-критерия Стьюдента (или стандартные ошибки) указываются вместе с уравнением регрессии под соответствующим коэффициентом:

или .

Пример 5.3. Проверить значимость коэффициентов регрессии, полученных в примере 5.1 (см. лекцию 4).

Решение. По данным таблицы 5.2 найдем оценку дисперсии случайного отклонения, т.е. квадрат стандартной ошибки регрессии:

.

Тогда

и .

Следовательно, наблюдаемое значение t-критерия Стьюдента коэффициента b₁ равно

.

Критическое значение t-критерия Стьюдента на уровне значимости =0,05 равно

.

Поскольку , то нулевая гипотеза отвергается в пользу альтернативной при выбранном уровне значимости. Это подтверждает статистическую значимость коэффициента регрессии b₁.

Аналогично проверяется статистическая значимость коэффициента b₀:

и .

Тогда наблюдаемое значение t-критерия Стьюдента коэффициента b₀ будет равно

.

Поскольку , то нет оснований отклонять гипотезу о статистической незначимости коэффициента b₀.

Таким образом, результаты анализа можно представить в виде

или . 