Дополнение 2. Законы распределений, связанных с нормальным

Распределение Пирсона (²-распределение)

Пусть независимые случайные величины U₁, U₂, …, U_k описываются стандартным нормальным распределением: . Тогда распределение суммы квадратов этих величин

(2.31)

называется ² распределением Пирсона с k степенями свободы (читается «хи-квадрат»). В явном виде плотность функции этого распределения имеет вид

(2.32)

где – гамма-функция; в частности, (n+1)=n!.

Распределение Пирсона определяется одним параметром – числом степеней свободы k. Числовые характеристики распределения Пирсона:

Если случайные величины ²(k₁) и ²(k₂) независимы, то

.

Отметим, что с увеличением числа степеней свободы распределение Пирсона постепенно приближается к нормальному.

Распределение Пирсона применяется для нахождения интервальных оценок и проверки статистических гипотез. При этом активно используется таблица критических точек ²-распределения. В таблицах для распределения Пирсона обычно в левом столбце приведены различные числа степеней свободы k. В верхней строчке указаны вероятности (уровни значимости)  попадания рассматриваемой величины в «правый хвост» распределения ² (см. рис. 2.2,а).

а

б

б

К

Рис. 2.2

ритическая точка отыскивается на пересечении столбца с заданной вероятностью  и строки, соответствующей числу степеней свободы k. Например, . Другими словами, . Отметим, что часто таблицы приводятся для двусторонних критических точек и . В этом случае предполагается, что вероятности попадания рассматриваемой случайной величины ² в оба «хвоста» распределения одинаковы и равны половине уровня значимости , т.е. /2 (рис.2.2,б).

Распределение Стьюдента (t-распределение)

Пусть U –стандартная нормально распределенная случайная величина, U=N(0,1), а ² – случайная величина, имеющая ²-распределение с k степенями свободы, причем U и ² независимые величины. Тогда распределение величины

(2.33)

называется распределением Стьюдента (t-распределением) с k степенями свободы. В явном виде плотность функции распределения Стьюдента имеет вид

(2.34)

Числовые характеристики распределения Стьюдента:

Отметим, что с возрастанием числа степеней свободы распределение Стьюдента быстро приближается к нормальному, причем при n>30 распределение Стьюдента

Распределение Стьюдента применяется для нахождения интервальных оценок, а также при проверке статистических гипотез. При этом активно используется таблица критических точек распределения Стьюдента. В таблицах для распределения Стьюдента обычно в левом столбце указаны числа степеней свободы k, а в верхней строчке – вероятности (уровни значимости)  попадания рассматриваемой величины в «правый хвост» распределения Стьюдента (см. рис. 2.3,а).

а

б

б

К

Рис. 2.3

ритическая точка отыскивается на пересечении столбца с заданной вероятностью  и строки, соответствующей числу степеней свободы k. Например, . Другими словами, .

Отметим, что иногда таблицы распределения Стьюдента приводятся для двусторонних критических точек , определяемых из условия (рис.2.3,б).

Распределение Фишера (F-распределение)

Пусть ²(k₁) и ²(k₂) – независимые случайные величины, имеющие ²-распределение соответственно с k₁ и k₂ степенями свободы. Распределение величины

(2.35)

называется распределением Фишера (F-распределением) со степенями свободы k₁ и k₂. В явном виде плотность распределения Фишера имеет вид

(2.38)6

Распределение Фишера определяется двумя параметрами – числами степеней свободы k₁ и k₂. Числовые характеристики распределения Фишера:

Отметим, что между случайными величинами, имеющими нормальное распределение, распределение Пирсона, Стьюдента и Фишера, имеют место соотношения:

Распределение Фишер используется при проверке статистических гипотез, в дисперсионном и регрессионном анализах. При этом активно используется таблица критических точек распределения Фишера. Таблицы критических точек распределения Фишера обычно приводятся для различных значений вероятности (уровня значимости)  попадания рассматриваемой величины в «правый хвост» распределения Фишера (см. рис. 2.4).

Рис. 2.4

Критическая точка отыскивается в таблице с заданной вероятностью  на пересечении столбца и строки, соответствующих числам степеней свободы k₁ и k₂. Например, . Другими словами, .