5.2 Математична модель Метод кубических сплайнов

Походження терміна "сплайни" пов'язане з гнучкою креслярської лінійкою, якою користувалися для малювання гладких кривих, що проходять через задані точки. Інтерполяція сплайнами - це швидкий, ефективний і стійкий спосіб інтерполяції функцій. Нарівні з раціональної інтерполяцією, сплайн-інтерполяція є однією з альтернатив поліноміальної інтерполяції [28]. В основі сплайн-інтерполяції лежить наступний принцип. Інтервал інтерполяції розбивається на невеликі відрізки, на кожному з яких функція задається поліномом третього ступеня. Коефіцієнти полінома підбираються таким чином, щоб виконувалися певні умови (які саме, залежить від способу інтерполяції). Загальні для всіх типів сплайнів третього порядку вимоги - безперервність функції і, зрозуміло, проходження через запропоновані їй точки. Додатковими вимогами можуть бути лінійність функції між вузлами, безперервність вищих похідних і т.д. Основними достоїнствами сплайн-інтерполяції є її стійкість і мала трудомісткість. Системи лінійних рівнянь, які потрібно вирішувати для побудови сплайнів, дуже добре обумовлені, що дозволяє отримувати коефіцієнти поліномів з високою точністю. У результаті навіть про дуже великих N обчислювальна схема не втрачає стійкість. Побудова таблиці коефіцієнтів сплайна вимагає O (N) операцій, а обчислення значення сплайна в заданій точці - всього лише

Зазвичай для сплайна вибирають кубічний поліном

,

визначений на інтервалі  з .

При цьому вся крива являє собою набір таких кубічних поліномів (рис 1.4), з певним чином підібраними коефіцієнтами     - параметр сплайна [20, 38].

Малюнок 1.4 Схема методів сплайнов

Коефіцієнти на кожному інтервалі визначаються з умов сполучення у вузлах:

.

Крім того, на кордоні при  і  ставляться умови

.                                                                        (1.12)

Будемо шукати кубічний поліном у вигляді

.

З умови  маємо

                                    (1.13)

Обчислимо похідні:

.

вимагатимемо їх безперервності при: :

.                          (1.14)

Загальне число невідомих коефіцієнтів, очевидно, так само, число рівнянь (1.13) і (1.14) дорівнює . Відсутні два рівняння отримуємо з умови (1.12) при

 і :

.

Вираз з (1.14) , підставляючи цей вираз в (1.13) і виключаючи , отримаємо:

.

Підставивши тепер вирази для  +  в першу формулу (1.14), після нескладних перетворень одержуємо для визначення  різницеве рівняння другого порядку:   . (1.15)

.   (1.15)

З крайовими умовами:

                                                                                     (1.16)

Умова  еквівалентно умові  і рівняння. . Різницеве рівняння (1.15) з умовами (1.16) можна вирішити методом прогонки, представивши у вигляді системи лінійних алгебраїчних рівнянь виду  , де вектор   відповідає вектору  , вектор F поелементно дорівнює правій частині рівняння (1.15), а матриця A має наступний вигляд:

,

де  і

Метод прогонки, заснований на припущенні, що шукані невідомі пов'язані рекурентним співвідношенням:

.

Використовуючи це співвідношення, висловимо  і  через  і підставимо в ie рівняння:

,

де  - права частина i-го рівняння. Це співвідношення буде виконуватися незалежно від рішення, якщо вимагати:

;

.

Звідси випливає:

;

.

З першого рівняння отримаємо:

;

.

Після знаходження прогоночних коефіцієнтів і використовуючи рівняння (1), отримаємо рішення системи. При цьому,

.

Сплайнова інтерполяція хороша тим, що вимагає знання у вузлах тільки значень функції, але не її похідних [34, 36, 43].