4 Постоянный ток

4.1 Основные формулы

Количественной мерой электрического тока служит сила тока I — скалярная физическая величина, определяемая электрическим зарядом, проходящим через поперечное сечение проводника в единицу времени:

Физическая величина, определяемая силой тока, проходящего через единицу площади поперечного сечения проводника, перпендикулярного направлению тока, называется плотностью тока:

Физическая величина, определяемая работой, совершаемой сторонними силами при перемещении единичного положительного заряда, называется электродвижущей силой (э. д. с.) , действующей в цепи:

Закон Ома для участка цепи (не содержащего источника э.д.с): сила тока в проводнике прямо пропорциональна приложенному напряжению и обратно пропорциональна сопротивлению проводника:

где R — электрическое сопротивление проводника.

Сопротивление проводника зависит от его размеров и формы, а также от материала, из которого он изготовлен. Для однородного линейного проводника сопротивление R прямо пропор­ционально его длине l и обратно пропорционально площади его поперечного сечения S:

где — коэффициент пропорциональности, характеризующий материал проводника. Он называется удельным электрическим сопротивлением.

Закон Ома в дифференциальной форме:

Закон Джоуля — Ленца в интегральной форме:

Закон Джоуля — Ленца в дифференциальной форме:

Закон Ома для неоднородного участка цепи в интегральной форме:

Если на данном участке цепи источник тока отсутствует ( = 0), то приходим к закону Ома для однородного участка цепи:

Если же электрическая цепь замкнута, то выбранные точки 1 и 2 совпадают, ; тогда из получаем закон Ома для замкнутой цепи:

где — э.д.с, действующая в цепи;

R — суммарное сопротивление всей цепи.

В общем случае R = r + R₁,

где r — внутреннее сопротивление источника э.д.с;

R₁ — сопротивление внешней цепи.

Поэтому закон Ома для замкнутой цепи будет иметь вид

Первое правило Кирхгофа: алгебраическая сумма токов, сходящихся в узле, равна нулю:

Второе правило Кирхгофа: в любом замкнутом контуре, произвольно выбранном в разветвленной электрической цепи, алгебраическая сумма произведений сил токов на сопротивления соответствующих участков этого контура равна алгебраической сумме э.д.с. , встречающихся в этом контуре:

4.2 Примеры решения задач

Пример 1.

В данной схеме (рисунок 16) батарея с ЭДС равной. Е=100. В, R₁=R₃=40 Ом, R₂=80 Ом, R₄=34 Ом. Найти силу тока, текущего через сопротивление R₂ и падение напряжения на этом сопротивлении. Сопротивлением батареи пренебречь.

Рисунок 16

Дано: Е=100 В R1=R3=40 Ом R2=80 Ом R4=34 Ом

I2 =? U2 =?

Решение:

По закону Ома для замкнутой цепи:

где R — полное со­противление цепи.

Резисторы R₁ ,R₂, R₃ соединены параллельно и все вместе последовательно с R₄. При параллельном соединении падение потенциала на каждом резисторе одинаковое, т.е. U₁ =U₂ =U₃ ; а сопротивление:

.

Подстановка данных даёт R₁₂₃ = 16 Ом.

Полное сопротивление цепи:

По закону Ома , получим I = 2 А. Но:

После подстановки числовых данных получим: U₂ = 32 B.

Сила тока, текущего через сопротивление R₂:

Ответ:U₂ = 32 В, I₂ = 0,4 А.

Пример 2.

Д ва гальванических элемента E₁ = 5 В, r₁ = 0,3 Ом, Е₂ = 4 В, r₂ = 0,2 Ом соединены параллельно и замкнуты на резистор R = 1,88 Ом. Определить силу тока через каждый элемент схемы.

Рисунок 17

Дано: E1 = 5 В r1 = 0,3 Ом Е2 = 4 В r2 = 0,2 Ом R = 1,88 Ом

I, I1, I2 - ?

Решение:

Решим задачу, используя правила Кирхгофа. Для этого укажем предположительное направление токов и направления действия сторонних сил.

Первое правило Кирхгофа для узла (а):

Второе правило Кирхгофа применим для контуров, аε₂bR и аε₁ bR при направлении обхода по часовой стрелке:

Умножив уравнение (1) на r₁ ,а уравнение (2) - на г₂, сложим их почленно:

Учитывая, что:

получим:

Тогда:

Ответ: I = 2,2 А, I₁ = 2,9 А, I₂ = 0,7 А.

Пример 3.

От источника, разность потенциалов на клеммах которого U = 10⁵ В требуется передать мощность Р = 5·10³ кВт на расстояние L = 5км. Допустимая «потеря» напряжения в проводнике k = 1%. Рассчитать минимальное сечение S провода, пригодного для этой цели.

Дано: U=105 В Р=5·106 Вт L= 5·103 м K=0,01 ρ=1,7·10-8 Ом·м

S-?

Решение:

Схема передачи энергии от источника к потребителю, сопротивление которого R_H представлены на рисунке 3. Напряжение U, снимается с клемм источника частично «падая» на проводах, подается потребителю:

.

Рисунок 18

Ток в нагрузке R_H и в проводах один и тот же, т.к. R_H и провода соединены последовательно. Он может быть определен из соотношения:

«Потерю напряжения» в проводниках можно найти по закону Ома для участка цепи:

(длина равна 2L, т.к. для передачи мощности на расстояния L используется 2 провода, соединенных последовательно). Тогда:

Произведем проверку размерности:

После подстановки данных получим S = 8,5·10^-6 м².

Ответ: S = 8,5·10^-6 м².

Пример 4.

Сколько ватт потребляет нагреватель электрического чайника, если 1 л воды закипает через 3 минуты? Каково сопротивление нагревателя, если напряжение в сети 220 В. Начальная температура воды 5°С. Коэффициент полезного действия нагревателя 80%.

Дано: V = 1л = 10-3 м3 ρ =1000 кг/м3 с = 4190 Дж T = 3 мин. = 180с T1 = 278 K T2 = 372 K U = 220 B η = 80% = 0,8

P-? R-?

Решение:

Мощность нагревателя: ,

где А – работа электрического тока. Полезная работа численно равна теплоте, необходимой для нагревания воды:

где с – удельная теплоемкость воды;

ρ – плотность воды.

Коэффициент полезного действия нагревателя , следовательно:

Тогда мощность нагревателя:

Проверка размерности:

Мощность электрического тока . Выразим отсюда сопротивление нагревателя:

Ответ: