Задание 3
Сгруппировать данные из столбца в интервальный ряд. Количество интервалов принять равным 3. Для сгруппированного ряда найти среднюю арифметическую, моду и медиану. Рассчитать показатели вариации: дисперсию способом моментов, среднее квадратическое отклонение, коэффициент вариации. По найденным значениям сделать выводы.
Решение.
Ширина интервала составит:
Xmax - максимальное значение группировочного признака в совокупности.
Xmin - минимальное значение группировочного признака.
Определим границы группы.
Номер группы |
Нижняя граница |
Верхняя граница |
1 |
5 |
7.67 |
2 |
7.67 |
10.34 |
3 |
10.34 |
13 |
Одно и тоже значение признака служит верхней и нижней границами двух смежных (предыдущей и последующей) групп.
Для каждого значения ряда подсчитаем, какое количество раз оно попадает в тот или иной интервал. Для этого сортируем ряд по возрастанию.
5 |
5 - 7.67 |
1 |
7 |
5 - 7.67 |
2 |
7 |
5 - 7.67 |
3 |
7 |
5 - 7.67 |
4 |
8 |
7.67 - 10.34 |
1 |
8 |
7.67 - 10.34 |
2 |
8 |
7.67 - 10.34 |
3 |
8 |
7.67 - 10.34 |
4 |
8 |
7.67 - 10.34 |
5 |
9 |
7.67 - 10.34 |
6 |
9 |
7.67 - 10.34 |
7 |
9 |
7.67 - 10.34 |
8 |
9 |
7.67 - 10.34 |
9 |
9 |
7.67 - 10.34 |
10 |
10 |
7.67 - 10.34 |
11 |
10 |
7.67 - 10.34 |
12 |
10 |
7.67 - 10.34 |
13 |
10 |
7.67 - 10.34 |
14 |
10 |
7.67 - 10.34 |
15 |
10 |
7.67 - 10.34 |
16 |
11 |
10.34 - 13 |
1 |
11 |
10.34 - 13 |
2 |
11 |
10.34 - 13 |
3 |
12 |
10.34 - 13 |
4 |
12 |
10.34 - 13 |
5 |
12 |
10.34 - 13 |
6 |
13 |
10.34 - 13 |
7 |
13 |
10.34 - 13 |
8 |
13 |
10.34 - 13 |
9 |
13 |
10.34 - 13 |
10 |
Результаты группировки оформим в виде таблицы:
Группы |
№ совокупности |
Частота fi |
5 - 7.67 |
1,2,3,4 |
4 |
7.67 - 10.34 |
5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,17,18,19,20 |
16 |
10.34 - 13 |
21,22,23,24,25,26,27,28,29,30 |
10 |
Таблица для расчета показателей.
Группы |
xi |
Кол-во, fi |
xi * fi |
Накопленная частота, S |
|x - xср|*f |
(x - xср)2*f |
Частота, fi/n |
5 - 7.67 |
6.34 |
4 |
25.34 |
4 |
12.82 |
41.06 |
0.13 |
7.67 - 10.34 |
9.005 |
16 |
144.08 |
20 |
8.54 |
4.56 |
0.53 |
10.34 - 13 |
11.68 |
10 |
116.75 |
30 |
21.36 |
45.62 |
0.33 |
Итого |
|
30 |
286.17 |
|
42.72 |
91.25 |
1 |
Для оценки ряда распределения найдем следующие показатели:
Средняя взвешенная
Мода.
Мода - наиболее часто встречающееся значение признака у единиц данной совокупности.
где x0 – начало модального интервала; h – величина интервала; f2 –частота, соответствующая модальному интервалу; f1 – предмодальная частота; f3 – послемодальная частота.
Выбираем в качестве начала интервала 7,67, так как именно на этот интервал приходится наибольшее количество.
Наиболее часто встречающееся значение ряда – 9.45
Медиана.
Медиана делит выборку на две части: половина вариант меньше медианы, половина — больше.
В интервальном ряду распределения сразу можно указать только интервал, в котором будут находиться мода или медиана. Медиана соответствует варианту, стоящему в середине ранжированного ряда. Медианным является интервал 7.67 - 10.34, т.к. в этом интервале накопленная частота S, больше медианного номера (медианным называется первый интервал, накопленная частота S которого превышает половину общей суммы частот).
Таким образом, 50% единиц совокупности будут меньше по величине 9.51
Среднее значение изучаемого признака по способу моментов.
где А – условный нуль, равный варианте с максимальной частотой (середина интервала с максимальной частотой), h – шаг интервала.
Находим А = 9.005.
Шаг интервала h = 2.67.
Средний квадрат отклонений по способу моментов.
xц |
x*i |
x*ifi |
[x*i]2fi |
6.34 |
-1 |
-4 |
4 |
9.01 |
0 |
0 |
0 |
11.68 |
1 |
10 |
10 |
|
|
6 |
14 |
Среднее квадратическое отклонение (средняя ошибка выборки).
Коэффициент вариации - мера относительного разброса значений совокупности: показывает, какую долю среднего значения этой величины составляет ее средний разброс.
Поскольку v ≤ 30%, то совокупность однородна, а вариация слабая. Полученным результатам можно доверять.