Задание д4 Применение принципа возможных перемещений для определения условий равновесия

Варианты № 00 – 04.

Механическая система, состоящая из колес 1, 2 и груза 3, находится в равновесии. К телу 1 приложен момент М₁, к телу 2 –момент М₂, масса груза равна m₃. Определить, при каком значении искомой величины, механизм находится в равновесии.

Рис.для вар.00-04

Исходные данные

Таблица3.4

№ варианта	R 1 м	r 2 м	R 2 м	M 1 Нм	M 2 Нм	m 3 кг	Найти
00	0,6	0,2	0,4	2400	-	100	М2
01	0, 8	0,4	0,5	2000	800	-	m 3
02	0 ,75	03	0.45	-	1200	200	М1
03	0,5	0,25	0,4	1800	-	120	М2
04	0,6	0,24	0,36	2500	1000	-	m 3

Варианты № 05 – 09.

Механическая система, состоящая из колес 1, 2 и груза 3, находится в равновесии. К телу 1 приложен момент М₁, к телу 2 –момент М₂, масса груза равна m₃. Определить, при каком значении искомой величины, механизм находится в равновесии.

Рис. для вар.05-09

Исходные данные.

Таблица 3.5

№ варианта	R 1 м	r 1 м	R 2 м	M 1 Нм	M 2 Нм	m 3 кг	Найти
05	0,6	0,5	0,4	2100	-	100	М2
06	0, 8	0,45	0,6	2400	600	-	m 3
07	0 ,5	03	0.2	-	1600	120	М1
08	0,5	0,25	0,4	2800	-	140	М2
09	0,6	0,24	0,36	2500	1000	-	m 3

Варианты № 10 – 14.

М еханическая система, состоящая из колес 1, 2 и груза 3, находится в равновесии. К телу 1 приложена сила Р, к телу 2 –момент М₂, масса груза равна m₃. Определить, при каком значении искомой величины, механизм находится в равновесии.

Рис. для вар.10-14

Исходные данные.

Таблица 3.6

№ варианта	R 1 м	r 1 м	R 2 м	r 2 м	M 2 Нм	Р Н	m 3 кг	Найти
10	0,5	0,3	0,4	0,2	6000	9600	-	m3
11	0,6	0,4	0,5	0,4	-	8000	140	М2
12	0, 48	0,46	0,3	0,15	2400	-	120	Р
13	0,64	0,48	0,28	0,14	4000	2000	-	m3
14	0,4	0,3	0,25	0,15	-	4200	200	М2

Варианты № 15 – 19.

М еханическая система, состоящая из колес 1, 2 и груза 3, находится в равновесии. К телу 1 приложен момент М₁, к телу 2 –момент М₂, масса груза равна m₃. Определить, при каком значении искомой величины, механизм находится в равновесии.

Рис. для вар.15-19

Исходные данные.

Таблица 3.7

№ варианта	R 1 м	R2 м	r 2 м	M 1 Нм	M 2 Нм	m 3 кг	Найти
15	0,3	0,45	0,4	2100	-	100	М2
16	0, 4	0,5	0,4	2400	600	-	m 3
17	0 ,25	0,6	0.2	-	1500	120	М1
18	0,2	0,5	0,4	2800	-	140	М2
19	0,25	0,6	0,3	2500	1000	-	m 3

Варианты № 20 – 24.

Механическая система, состоящая из колес 1, 2 и груза 3, находится в равновесии. К колесу 1 приложен момент М₁, к колесу 2 –момент М₂, масса груза равна m₃. Определить, при каком значении искомой величины, механизм находится в равновесии.

Рис. для вар.20-24

Исходные данные.

Таблица 3.8

№ варианта	R 1 м	R 2 м	r 2 м	M 1 Нм	M 2 Нм	m 3 кг	Найти
20	0,8	0,45	0,4	2100	-	100	М2
21	0, 6	0,5	0,36	2400	600	-	m 3
22	0 ,75	03	0.2	-	1500	120	М1
23	0,5	0,54	0,24	2800	-	140	М2
24	0,7	0,24	0,16	2500	1000	-	m 3

Варианты № 25 – 29.

М еханическая система, состоящая из колес 1, 2 и груза 3, находится в равновесии. К колесу 1 приложен момент М₁, к колесу 2 –момент М₂, масса груза равна m₃. Определить, при каком значении искомой величины, механизм находится в равновесии.

Рис. для вар.25-29

Исходные данные.

Таблица 3.9

№ варианта	R 1 м	r1 м	R 2 м	M 1 Нм	M 2 Нм	m 3 кг	Найти
25	0,8	0,45	0,4	1200	-	100	М2
26	0, 6	0,5	0,3	4000	1200	-	m 3
27	0 ,5	03	0.2	-	1500	120	М1
28	0,5	0,4	0,15	3200	-	140	М2
29	0,7	0,5	0,35	2000	1000	-	m 3

Варианты № 30 – 34.

М еханическая система, состоящая из колес 1, 2 и груза 3, находится в равновесии. К телу 1 приложена сила Р, к телу 2 –момент М₂, масса груза равна m₃. Определить, при каком значении искомой величины, механизм находится в равновесии.

Рис. для вар.30-34

Исходные данные.

Таблица 3.10

№ варианта	R 1 м	r1 м	R 2 м	P Н	M 2 Нм	m 3 кг	Найти
30	0,8	0,3	0,4	1200	-	100	М2
31	0, 6	0,25	0,6	4000	800	-	m 3
32	0 ,5	0,3	0.4	-	600	120	М1
33	0,48	0,25	0,5	3200	-	140	М2
34	0,68	0,3	0,6	2000	500	-	m 3

Варианты № 35 – 39.

М еханическая система, состоящая из колес 1, 2 и груза 3, находится в равновесии. К телу 1 приложена сила Р, к телу 2 –момент М₂, масса груза равна m₃. Определить, при каком значении искомой величины, механизм находится в равновесии.

Рис. для вар.35-39

Исходные данные.

Таблица 3.11

№ варианта	R 1 м	r 1 м	R 2 м	r 2 м	M 2 Нм	Р Н	m 3 кг	Найти
35	0,3	0,3	0,5	0,25	6000	9600	-	m3
36	0,4	0,25	0,6	0,3	-	8000	140	М2
37	0, 42	0,24	0,48	0,3	2400	-	120	Р
38	0,36	0,2	0,52	0,26	4000	2000	-	m3
39	0,24	018	0,4	0,25	-	4200	200	М2

Варианты № 40 – 44.

М еханическая система, состоящая из колес 1, 2 и груза 3, находится в равновесии. К телу 1 приложена сила Р, к телу 2 –момент М₂, масса груза равна m₃. Определить, при каком значении искомой величины, механизм находится в равновесии.

Рис. для вар.40-44

Исходные данные.

Таблица 3.12

№ варианта	R 1 м	r 1 м	R 2 м	r 2 м	M 2 Нм	Р Н	m 3 кг	Найти
40	0,8	0,6	0,5	0,25	8000	86000	-	m3
41	0,6	0,4	0,4	0,3	-	6000	120	М2
42	0, 72	0,48	0,42	0,36	1400	-	150	Р
43	0,64	0,42	0,52	0,42	4200	2000	-	m3
44	0,48	0,3	0,4	0,3	-	1200	100	М2

Варианты № 45 – 49.

М еханическая система, состоящая из колес 1, 2 и груза 3, находится в равновесии. К телу 1 приложена сила Р, к телу 2 –момент М₂, масса груза равна m₃. Определить, при каком значении искомой величины, механизм находится в равновесии.

Рис. для вар.45-49

Исходные данные.

Таблица 3.13

№ варианта	R 1 м	R2 м	r2 м	P Н	M 2 Нм	m 3 кг	Найти
45	0,2	0,6	0,4	2200	-	120	М2
46	0, 3	0,75	0,5	1400	800	-	m 3
47	0 ,25	0,8	0.6	-	600	110	М1
48	0,24	0,64	0,4	3000	-	150	М2
49	0,15	0,5	0,3	2400	500	-	m 3

Варианты № 50 – 54.

М еханическая система, состоящая из колес 1, 2 и груза 3, находится в равновесии. К колесу 1 приложен момент М₁, к колесу 2 –момент М₂, масса груза равна m₃. Определить, при каком значении искомой величины, механизм находится в равновесии.

Рис. для вар.50-54

Исходные данные.

Таблица 3.14

№ варианта	R 1 м	R2 м	r 2 м	М1 Нм	M 2 Нм	m 3 кг	Найти
50	0,36	0,4	0,2	4200	-	200	М2
51	0, 34	0,4	0,25	4000	1800	-	m 3
52	0 ,25	0,32	0.16	-	1600	240	М1
53	0,4	0,36	0.18	3200	-	180	М2
53	0,3	0,4	0,3	2000	1500	-	m 3

Варианты № 55 – 59

Механическая система, состоящая из колес 1, 2 и груза 3, находится в равновесии. К телу 1 приложена сила Р, к телу 2 –момент М₂, масса груза равна m₃. Определить, при каком значении искомой величины, механизм находится в равновесии.

Рис. для вар.55-59

Исходные данные.

Таблица 3.15

№ варианта	R 1 м	r 1 м	R 2 м	r 2 м	M 2 Нм	Р Н	m 3 кг	Найти
55	0,8	0,6	0,5	0,25	8000	86000	-	m3
56	0,6	0,4	0,24	0,3	-	6000	120	М2
57	0, 72	0,48	0,36	0,36	1400	-	150	Р
58	0,64	0,42	0,2	0,42	4200	2000	-	m3
59	0,47	0,3	0,15	0,3	-	1200	100	М2

Варианты № 60 – 64.

Механическая система, состоящая из колес 1, 2 и груза 3, находится в равновесии. К телу 1 приложена сила Р, к телу 2 –момент М₂, масса груза равна m₃. Определить, при каком значении искомой величины, механизм находится в равновесии.

Рис. для вар.60-64

Исходные данные.

Таблица 3.16

№ варианта	R 1 м	R2 м	r2 м	P Н	M 2 Нм	m 3 кг	Найти
60	0,4	0,6	0,4	1200	-	100	М2
61	0, 36	0,4	0,24	4000	1800	-	m 3
62	0 ,28	0,42	0.2	-	1600	120	М1
63	0,2	0,5	0,3	3200	-	140	М2
64	0,24	0,48	0,24	2000	1 500	-	m 3

Варианты № 65 – 69.

Механическая система, состоящая из колес 1, 2 и груза 3, находится в равновесии. К телу 1 приложена сила Р, и момент М₁, масса груза равна m₃. Определить, при каком значении искомой величины, механизм находится в равновесии.

Рис. для вар.65-69

Исходные данные.

Таблица 3.17

№ варианта	R 1 м	r 1 м	R 2 м	r 2 м	M1 Нм	Р Н	m 3 кг	Найти
65	0,8	0,6	0,5	0,25	4000	8600	-	m3
66	0,6	0,4	0,4	0,3	-	7200	120	М2
67	0, 72	0,48	0,42	0,36	4400	-	150	Р
68	0,64	0,42	0,52	0,42	1200	9000	-	m3
69	0,47	0,3	0,4	0,3	-	8200	100	М2

Варианты № 70 – 74

М еханическая система, состоящая из колес 1, 2 и груза 3, находится в равновесии. К телу 1 приложена сила Р, и момент М₁, масса груза равна m₃. Определить, при каком значении искомой величины, механизм находится в равновесии.

Рис. для вар.70-74

Исходные данные.

Таблица 3.18

№ варианта	R 1 м	r 1 м	R 2 м	r 2 м	M1 Нм	Р Н	m 3 кг	Найти
70	0,8	0,6	0,5	0,25	2000	8600	-	m3
71	0,6	0,4	0,4	0,3	-	9200	120	М2
72	0, 72	0,48	0,42	0,36	4400	-	150	Р
73	0,64	0,42	0,52	0,26	1200	10000	-	m3
74	0,47	0,3	0,4	0,3	-	8200	100	М2

Варианты № 75 – 79

Механическая система, состоящая из колес 1, 2 и груза 3, находится в равновесии. К колесу 1 приложен момент М₁, к колесу 2 –момент М₂, масса груза равна m₃. Определить, при каком значении искомой величины, механизм находится в равновесии.

Рис. для вар.75-79

Исходные данные.

Таблица3.19

№ варианта	R 1 м	R2 м	r 2 м	М1 Нм	M 2 Нм	m 3 кг	Найти
75	0,72	0,8	0,4	4200	-	120	М2
76	0, 56	0,6	0,45	4000	1200	200	m 3
77	0 ,5	0,72	0.48	-	1400	140	М1
78	0,48	0,64	0,5	3200	-	80	М2
70	0,68	0,82	0,6	2000	1000	-	m 3

Варианты № 80– 84.

Механическая система, состоящая из колес 1, 2 и груза 3, находится в равновесии. К колесу 1 приложен момент М₁, к колесу 2 –момент М₂, масса груза равна m₃. Определить, при каком значении искомой величины, механизм находится в равновесии.

Рис. для вар.80-84

Исходные данные.

Таблица 3.20

№ варианта	R 1 м	R2 м	r 2 м	М1 Нм	M 2 Нм	m 3 кг	Найти
80	0,72	0,8	0,4	4200	-	120	М2
81	0, 56	0,6	0,45	4000	1200	200	m 3
82	0 ,5	0,72	0.48	-	1400	140	М1
83	0,48	0,64	0,4	3200	-	80	М2
84	0,68	0,82	0,6	2000	1000	-	m 3

Варианты № 85 – 89.

Механическая система, состоящая из колес 1, 2 и груза 3, находится в равновесии. К колесу 1 приложен момент М₁, к колесу 2 –момент М₂, масса груза равна m₃. Определить, при каком значении искомой величины, механизм находится в равновесии.

Рис. для вар.85-89

Исходные данные.

Таблица 3.21

№ варианта	R 1 м	R2 м	r 2 м	М1 Нм	M 2 Нм	m 3 кг	Найти
85	0,6	0,8	0,4	4200	-	120	М2
86	0, 4	0,6	0,3	4000	1200	200	m 3
87	0 ,54	0,72	0.48	-	1400	140	М1
88	0,48	0,64	0,4	3200	-	80	М2
89	0,32	0,62	0,48	6000	1000	-	m 3

Варианты № 90 – 94

М еханическая система, состоящая из колес 1, 2 и груза 3, находится в равновесии. К колесу 1 приложен момент М₁, к колесу 2 –момент М₂, масса груза равна m₃. Определить, при каком значении искомой величины, механизм находится в равновесии.

Рис. для вар.90-94

Исходные данные

Таблица3.22

№ варианта	R 1 м	R 2 м	r 2 м	M 1 Нм	M 2 Нм	m 3 кг	Найти
90	0,24	0,5	0,35	2100	-	100	М2
91	0, 32	0,64	0,4	2400	600	-	m 3
92	0 ,3	0,6	0.24	-	1500	120	М1
93	0,15	0,4	0,2	2800	-	140	М2
94	0,12	0,5	0,25	2500	1000	-	m 3

Варианты № 95 – 99

М еханическая система, состоящая из колес 1, 2 и груза 3, находится в равновесии. К колесу 1 приложен момент М₁, к колесу 2 –момент М₂, масса груза равна m₃. Определить, при каком значении искомой величины, механизм находится в равновесии.

Рис. для вар.95-99

Исходные данные.

Таблица 3.23

№ варианта	R 1 м	R2 м	r 2 м	М1 Нм	M 2 Нм	m 3 кг	Найти
95	0,72	0,54	0,4	4000	-	100	М2
96	0, 56	0,48	0,24	6000	1400	120	m 3
97	0 ,5	0,42	0.18	-	1200	150	М1
98	0,48	0,4	0,25	6200	-	80	М2
99	0,68	0,32	0,16	4000	1000	-	m 3

Пример. Применение принципа возможных перемещений для определения условий равновесия.

Механическая система, состоящая из колес 1, 2 и груза 3, находится в равновесии (рис.3.8). К колесу 2 приложен момент М₂, к стержню ОА, жёстко связанному с колесуом 2, –сила Р, масса груза равна m₃. Определить, при каком значении силы Р, механизм находится в равновесии, если М₂=600Нм, m₃=100кг,

ОА=0,4м, r₁=0,2м, r₂=0,24м, R₂=0,3м. Сопротивлением пренебречь.

Рис. 3.8 Схема механизма

Для решения применим принцип возможных перемещений, согласно которому: для равновесия механической системы с идеальными связями сумма элементарных работ активных (действующих на точки системы )сил при любом возможном перемещении системы равна нулю.

В нашем случае активные силы это силы тяжести G₁, G₂, G₃, сила Р и момент M₂; связи будем считать идеальными, потому что сопротивлением пренебрегаем, ремень считаем нерастяжимым, все звенья твёрдыми телами.

Механизм имеет одну степень свободы, поэтому все возможные перемещения точек механизма можно выразить через одно независимое перемещение. Возможным перемещением механической системы называется любая совокупность допускаемых связями элементарных перемещений точек этой системы из заданного в данный момент времени положения.

В

Рис.3.10 Возможные перемещения

ыберем в качестве независимого перемещения элементарный угол поворота δφ₁ стержня ОА вместе с колесом 1 (рис.3.15).

Выразим остальные возможные перемещения через независимое. Возможное перемещение точки А δs_A= δφ₁∙OA;возможное угловое перемещение колеса 2

δφ₂= δφ₁∙r₁ ∕R₂; возможное перемещение груза 3 δs₃= δφ₂∙r₂= δφ₁∙(r₁ ∕R₂)∙r₂; возможные перемещения точек приложения сил G₁ и G₂ равны нулю.

Вычислим возможную работу сил.

δA_P=P∙ δs_A=P∙ δφ₁∙OA; δA_M2=-M₂∙ δφ₂=-M₂∙ δφ₁∙r₁ ∕R₂;

δA_G3=-G₃∙ δs₃=-G₃∙ δφ₁∙(r₁ ∕R₂)∙r₂.

Вычислим сумму возможных работ всех сил и приравняем её нулю.

δφ₁ ∙(P∙ ∙OA-M₂∙r₁ ∕R₂-G₃∙(r₁ ∕R₂)∙r₂)=0.

Приравняв нулю выражение в скобках, определим неизвестную силу:

Р=1∕ОА(M₂∙r₁ ∕R₂+G₃∙(r₁ ∕R₂)∙r₂).

Р=1400Н.

Литература

1. Тарг С.М. Краткий курс теоретической механики: Учеб. - 18е изд., стер.- М.: Высш. шк., 2008. - 416 с., ил.

2. Основы динамики материальной точки и механической системы: учеб. пособие/ Черняховская Л.Б. – Самара: самар. гос. техн. ун-т. 2010. - 190 с.

3. Статика, кинематика и динамика механических систем: Учеб. - метод. пособие./ Сост. Л.Б. Черняховская, Е.К. Козырева. – Самара: Самар. гос. техн. ун-т, 2010. –72 с

.

Сборник заданий

ЧЕРНЯХОВСКАЯ Людмила Борисовна

КОЗЫРЕВА Елена Кузьминична