Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Тольяттинский государственный университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

dynamics.doc

Скачиваний:

Добавлен:

01.07.2025

Размер:

1.26 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 23 / 53 4 5 > Следующая >>>

Задание д2 Применение теоремы об изменении кинетической энергии к изучению движения механической системы

Механизм начинает двигаться из состояния покоя под действием заданных сил: постоянной силы F, постоянного вращающего момента М_вр и сил тяжести. Сила и момент действуют на одно из тел, как показано на рисунке. Зная массы тел m₁, m₂, m₃, m₄; радиусы r и R малых и больших окружностей колёс; радиусы инерции ступенчатых колёс ρ, определить какую скорость будет иметь тело 1 после того, как оно переместится на расстояние S=3м. Коэффициент трения скольжения для всех вариантов, где груз скользит по плоскости, f=0,05. Сопротивлением качению пренебречь. Качение колёс происходит без скольжения. Численные значения всех величин даны в таблице 3.2.

П ример. Применение теоремы об изменении кинетической энергии к изучению движения механической системы Механизм движется из состояния покоя. Определить скорость тела 1 после его перемещения на расстояние S=0,5м. Дано: массы тел m₁=10кг, m₂=30кг, m₃=15кг, m₄=20кг, радиусы колёс r₂=0,2м, R₂=0,4м, r₃=0,25м, r₄=0,25м , радиус инерции тела 2 ρ₂=0,25м, сила F=100Н, М_вр=20м.

Рис.3.3 Схема механизма

Решение

Кинематика механизма. Выразим основные кинематические параметры звеньев механизма через искомую скорость v₁. Из рисунка видно, что тело 1 движется поступательно, тела 2 и 3 вращаются, а тело 4 движется плоскопараллельно. Угловая скорость колеса 2 определяется из условия равенства скоростей точек контакта звеньев 1 и 2.

V₁=ω₂·r₂ ω₂= . (3.6)

И з аналогичного условия равенства скоростей точек контакта колёс 2 и 3 находим угловую скорость колеса 3. Так как ω₂·R₂= ω₃·r₃, то

ω₃= . (3.7)

Рис 3.4 Кинематическая схема.

С хемы механизмов

М_вр

1 0

1 2

1 4

1 5

М_вр

1 7

1 8

2 0

2 1

2 2

2 3

2 4

М_в_р

2 8

2 9

М_вр

3 1

3 2

3 3

3 4

Исходные данные.

Таблица 3.2

№ вар.	№ рис.	m₁, кг	m₂, кг	m₃, кг	m₄, кг	r₂_, м	R₂_, м	r₃_, м	R₃_, м	ρ₂_, м	ρ₃_, м	F, Н	М_вр, Нм
1	1	40	20	20	30	0,5	-	0,2	-	-	-	10	40
2	2	30	10	30	25	0,2	-	0,2	0,4	-	0,3	110	30
3	3	20	20	10	40	0.5	-	0,3	-	-	-	60	30
4	4	20	20	10	20	0,4	-	0,2	-	-	-	100	40
5	5	23	30	20	50	0,5	-	0,3	-	-	-	710	40
6	6	20	100	30	30	0.3	-	0.6	-	-	-	120	50
7	7	10	15	30	20	0,3	-	0,2	0,4	-	0,3	100	70
8	8	25	10	15	15	0. 3	-	0,25	0,5	-	0,4	50	50
9	9	29	10	20	-	0,25	-	0,4	-	-	-	100	25
10	10	20	15	30	-	0,3	-	0,3	0,5	-	0,4	200	50
11	11	10	20	10	-	0,2	0,5	0,3	-	0,3	-	60	40
12	12	10	15	10	15	0,2	0,4	0,3	-	0,3	-	50	120
.13	13	5	22	12	10	0,2	-	0,2	0,5	-	0,4	40	550
14	14	20	20	10	10	0,2	0,5	0,3	-	0,4	-	100	20
15	15	35	25	20	-	0,1	-	0,3	-	-	-	100	40
16	16	10	24	25	-	0,15	-	0,4	-	-	-	100	30
17	17	35	22	10	10	0,1	0,3	0,2	-	-	-	150	30
18	18	25	10	25	-	0,2	-	0,3	-	-	-	60	10
19	19	15	20	50	20	0,3	-	0,2	0,4	-	0,3	70	50
20	20	35	10	15	-	0,2	-	-	-	-	-	120	50
21	21	10	10	20	-	0,2	-	0,3	-	-	-	100	35
22	22	20	10	20	-	0,25	-	0,4	-	-	-	100	30
23	23	20	15	30	-	0,2	-	0,2	0,5	-	0,3	200	10
24	24	20	10	20	-	0,3	0,6	0,3	-	0,4	-	230	40
25	25	30	15	20	-	0,2	-	0,3	-	-	-	0	35
26	26	30	15	30	-	0,2	-	0,2	0,4	-	0,3	100	40
27	27	10	25	20	-	0,3	0,6	0,2	-	0,4	-	150	25
28	28	12	20	18	-	0,2	0,4	0,2	-	0,4	-	20	70
29	29	10	15	20	-	0,3	0,6	0,2	-	0,4	-	100	15
№ вар.	№ рис.	m₁, кг	m₂, кг	m₃, кг	m₄, кг	r₂_, м	R₂_, м	r₃_, м	R₃_, м	ρ₂_, м	ρ₃_, м	F, Н	М_вр, Нм
30	30	5	15	25	-	0,2	-	0,2	0,4	-	0,3	10	80
31	31	39	12	20	-	0,3	-	0.3	-	-	-	0	20
32	32	20	15	10	-	0,2	0,4	0,3	-	0,3	-	40	10
33	33	14	18	20	10	0,3	-	0,3	-	-	-	10	10
34	34	10	15	12	4	0,25	0,5	0,3	-	0,4	-	100	40
35	1	50	20	10	30	0,5	-	0.2	-	-	-	0	50
36	2	26	10	30	15	0,2	-	0,2	0,4	-	0,3	110	0
37	3	16	20	10	30	0.5	-	0,2	-	-	-	60	0
38	4	26	20	10	20	0,4	-	0,2	-	-	-	0	40
39	5	34	40	20	50	0,5	-	0,25	-	-	-	700	60
40	6	18	10	30	20	0.3	-	0,6	-	-	-	120	0
41	7	12	10	20	20	0,3	-	0,2	0,4		0,3	40	170
42	8	20	19	18	10	0. 3	-	0,25	0,5	-	0,4	50	0
43	9	15	25	10	-	0,2	-	0,5	-	-	-	100	50
44	10	30	10	25	-	0,3	-	0,3	0,5	-	0,4	100	50
45	11	10	20	10	-	0,2	0,5	0,3	-	0,3	-	40	50
46	12	10	25	15	15	0,2	0,4	0,3	-	0,3	-	30	120
47	13	5	20	10	10	0,2	0,3	0,5	-	-	0,4	40	300
48	14	20	20	10	10	0,2	0,5	0,3	-	0,4	-	100	20
49	15	25	20	25	-	0,1	-	0,3	-	-	-	150	60
50	16	10	22	28	-	0,2	-	0,4	-	-	-	50	70
51	17	40	20	18	10	0,1	0,3	0,2	0,25	-	-	100	35
52	18	20	10	25	-	0,2	-	0,3	-	-	-	0	8
54	19	15	39	40	20	0,2	-	0,2	0,4	-	0,3	50	80
55	20	22	12	15	-	0,2	-	-	-	-	-	90	15
56	21	15	15	20	-	0,2	-	0,4	-	-	-	100	60
57	22	20	15	25	-	0,25	-	0,4	-	-	-	100	56
58	23	10	15	30	-	0,2	-	0,3	0,4	-	0,25	20	0
59	24	12	10	25	-	0,3	0,6	0,3	-	0,4	-	100	45
60	25	10	20	20	-	0,25	0,5	0,3	-	0,3	-	10	25
61	26	10	10	25	-	0,2	-	0,2	0,4	-	0,3	100	90
62	27	10	12	25	-	0,25	0,5	0,2	-	0,4	-	100	40
63	28	20	16	18	-	0,2	0,4	0,2	-	0,4	-	20	40
64	29	10	12	25	-	0,25	0,5	0,2	-	0,4	-	100	40
65	30	5	15	25	-	0,2	-	0,2	0,4	-	0,3	0	80
66	31	10	12	20	-	0,3	-	0.3	-	-	-	50	10
67	32	20	15	20	-	0,2	0,4	0,3	-	0,3	-	10	20
68	33	10	18	20	10	0,3	-	0,3	-	-	-	0	10
69	1	50	20	10	30	0,5	-	0.2	-	-	-	0	0
70	2	20	10	30	15	0,2	-	0,2	0,4	-	0,3	0	30
71	3	20	30	10	30	0.5	-	0,3	-	-	-	0	30
72	4	20	24	10	20	0,4	-	0,2	-	-	-	100	10
73	5	30	30	10	50	0,5	-	0,3	-	-	-	0	150
74	6	10	10	30	20	0.3	-	0.6	-	-	-	26	100
75	7	20	10	15	20	0,3	-	0,2	0,4		0,3	0	150
76	8	20	10	15	10	0. 3	-	0,25	0,5	-	0,4	50	120
77	9	15	10	20	-	0,25	-	0,4	-	-	-	0	50
78	10	20	15	30	-	0,3	-	0,3	0,5	-	0,4	60	30
79	11	10	20	10	-	0,2	0,5	0,3	-	0,3	-	0	40
80	12	10	15	10	20	0,2	0,4	0,3	-	0,3	-	50	120
81	13	15	25	15	10	0,2	0,3	0,5	-	-	0,4	10	100
82	14	20	10	10	10	0,2	0,5	0,3	-	0,4	-	50	100
83	15	30	25	20	-	0,1	-	0,3	-	-	-	15	60
84	16	10	24	25	-	0,15	-	0,4	-	-	-	10	60
85	17	30	25	10	10	0,1	0,3	0,2	-	-	-	0	50
86	18	20	12	22	-	0,2	-	0,4	-	-	-	50	0
87	19	18	22	35	20	0,3	-	0,2	0,4	-	0,3	40	68
88	20	18	12	15	-	0,2	-	-	-	-	-	29	5
89	21	10	15	22	-	0,2	-	0,3	-	-	-	60	0
90	22	20	10	30	-	0,25	-	0,4	-	-	-	10	30
91	23	10	5	20	-	02	-	0,2	0,4	-	0,3	0	20
92	24	10	10	20	-	0,3	0,6	0,3	-	0,4	-	39	40
93	25	15	10	15	-	0,2	0,2	0,4	-	0,3	-	0	0
94	26	20	15	30	-	0,2	-	0,2	0,4	-	0,3	30	60
95	27	12	10	20	-	0,2	0,4	0,2	-	0,3	-	40	20
96	28	12	20	20	-	0,2	0,4	0,2	-	0,4	-	0	60
97	29	12	10	20	-	0,2	0,4	0,2	-	0,3	-	0	20
96	30	5	15	25	-	0,2	-	0,2	0,4	-	0,3	10	0
99	31	15	12	25	-	0,3	-	0.3	-	-	-	0	20
100	32	19	20	15	-	0,2	0,4	0,3	-	0,3	-	30	15

Трос, соединяющий тела 3 и 4, имеет скорость равную V_тр= ω₃·r₃, так как трос сходит с колеса 3, и V_тр = ω₄·2r₄, так как он намотан на колесо 4. Иначе говоря, скорость точки колеса, касающейся горизонтального участка троса равна скорости троса. Скорость любой точки колеса 4 вычисляется по правилу

V= ω₄·h_К, где h_К-расстояние от точки до м.ц.с., ω₄-угловая скорость колеса 4.

М.ц.с. К находится в точке касания колеса 4 с плоскостью, по которой оно катится без скольжения. Отсюда

ω₃·r₃= ω₄·2r₄, ω₄= = 4V₁ (3.8)

Скорость центра масс колеса 4 V_C₄= ω₄ r₄= =V₁ (3.9)

Мы видим из кинематических расчётов, что все скорости пропорциональны скорости тела 1. Значит соответствующие угловые и линейные перемещения находятся в такой же пропорциональной зависимости.

Угловое перемещение тела 2 выразим через линейное перемещение тела 1:

= 5 ·S₁=2,5(рад). (3.10)

Аналогично S_C₄= =S₁=0,5м. (3.11)

Перейдём к динамике. Применим теорему об изменении кинетической энергии, согласно которой: изменение кинетической энергии механической системы при перемещении её из начального положения в конечное равно сумме работ всех сил, приложенных к этой системе на этом перемещении

Т – Т₀= .

Вычислим кинетическую энергию механизма. Она складывается из кинетических энергий звеньев.

Т=Т₁+Т₂+Т₃+Т₄.

Движение механизма начинается из состояния покоя, поэтому Т₀=0. Звено 1 движется поступательно, поэтому

Т₁= = 5V₁².

Тела 2 и 3 вращаются поэтому

Т₂= и Т₃= .

Моменты инерции колёс вычислим по формулам: для тела 2 через радиус инерции =1,875кгм², для тела 3 по формуле для однородного цилиндра

I_z₃=m₃r₃²/2=0,469кгм²

Вычисляем кинетическую энергию колёс: Т₂= 46,875 V₁², Т₂=30V₁².

Кинетическая энергия колеса 4 вычисляется по формуле

Т₄= = 15 V₁² где =0,625кгм²

и полную кинетическая энергию механизма Т=96,975 V₁² (Дж). (3.12)

Т еперь вычислим работу сил, приложенных к точкам механической системы. Для этого покажем силы на схеме.

Рис 3.5 Силовая схема.

На схеме показаны только внешние силы, потому что для системы, состоящей из твёрдых тел и имеющей идеальные связи, как в нашем случае, работа внутренних сил равна нулю.

Если сила приложена к неподвижной точке, или перпендикулярна направлению перемещения её точки приложения , то работа такой силы тоже равна нулю. С учётом этого, сумма работ всех сил будет равна

Будем предполагать, что движение механизма происходит в направлении действия илы F. Тогда F·S_C₄=100·0,5=50 Дж; =-М_вр·φ₂=-20·2,5=-50Дж;

= m₁g·S₁=10·9,8·0,5=49Дж;

Суммарная работа сил равна = 49Дж. (8)

Сумма работ всех сил получилась положительной, значит, мы верно выбрали направление движения. В противном случае нужно направление движения поменять на противоположное.

Приравнивая (7) и (8) 96,975 V₁²=49, получаем ответ V₁=0,505м/с.

Задание Д3 Применение принципа Даламбера (метода кинетостатики) для определения реакций связей

Для получения рисунка к задаче для Вашего варианта нужно совместить схему механизма и схему опоры в точке С. Номер механизма соответствует первой цифре варианта, а номер опоры второй цифре. Например, для варианта 55 рисунок должен выглядеть так, как показано на рис 3.6

Рис.3.6

Условие задачи. Механизм, состоящий из грузов 1, (2) и блока 3 движется под действием сил тяжести, вращающего момента М_вр и силы Р, которые показаны на схеме механизма. С помощью принципа Даламбера (метода кинетостатики) установить ускорения грузов 1, (2) и угловое ускорение блока 3. Далее, определить реакции внешних связей для всей конструкции. В таблице 1 даны следующие данные: m₁, m₂, m₃-массы тел; r и R - малый и большой радиусы окружностей блока 3; I_z-момент инерции блока относительно его оси вращения. Из таблицы 3.3 берёте только значение той величины М_врили Р, которая показана на схеме.

Исходные данные.

Таблица 3.3

№опоры	m₁,кг	m₂,кг	m₃, кг	r, м	R, м	I,кгм²	М_врНм	Р,Н
1	2	5	3	0,1	0,2	0,16	0,2	20
2	3	2	3	0,1	0,2	0,14	1,2	10
3	4	1	2	0,15	0,3	0,19	1,5	15
4	1	2	3	0,1	0,2	0,2	3,5	5
5	2	1	2	0,1	0,2	0,14	2	15
6	0,5	1	1,6	0,15	0,3	0,12	1,4	10
7	1	0,5	2	0,2	0,3	0,2	1	14
8	1,5	1,2	1,8	0,15	0,2	0,11	1,5	10
9	3	2	2	0,12	0,18	0,1	2	15
10	1	1,5	!.7	0,1	0,15	0,22	1,6	12

Схемы механизмов

1	2
3	4
5	6
7	8
9	1 0

Схемы опор.

1 l=1,5м, b=0,5м, а=0,25м

2 l=2м, b=1м, φ=30º

3 l=0,3м, b=1м, а=0,8м

4 l=1,5м, b=1м

5 l=2м

6 φ=60º

7 φ=30º

φ=60º

8 φ=60º

а=0,4м, l=1,4м, b=0,4м

0 l=2м, b=0,8м

Пример. Применение принципа Даламбера (метода кинетостатики) для определения реакций связей

: m₁=1,5кг, m₂= 3кг, m₃= 2кг, r=0,12м, R=0,24м, I=0,25кгм², Р=25Н.

45º

Рис.3.7 Схема механической системы.

Решение

Установим кинематические зависимости. Механизм имеет одну степень свободы, поэтому ускорения грузов зависят от углового ускорения блока. Обозначим ускорения грузов а₁ и а₂, а угловое ускорение блока ε. Тогда

а₁= ε·r и а₂= ε·R,

Рис.3.8 Силовая схема.

Изобразим действующие на механическую систему силы: внешние активные силы m₁g, m₂g, m₃g; реакции внешних связей силы натяжения невесомых стержней АС и ВС- ; силы инерции Даламбера для грузов 1 и 2, движущихся поступательно , а для тела 3 момент сил инерции , здесь знак – указывает на то, что направление момента противоположно направлению углового ускорения. Блок вращается вокруг неподвижной оси, в этом случае силы инерции приводятся к главному вектору и к главному моменту сил инерции M^ин. Но так как центр масс блока находится на неподвижной оси в точке С, то Ф₃^ин=0, поэтому учитываем только момент.

Согласно принципу Даламбера, который ещё называют методом кинетостатики, система перечисленных сил инерции, активных сил и сил реакций связей эквивалентна нулю. Составим для этих сил уравнения статики:

1) ; F₁- F₂cos45º-P cos45º=0