Дифференциальные уравнения точки принимают вид:

Подставим m =2 и получим

или (3.1)

Уравнения (3.1) – однородные линейные дифференциальные уравнения второго порядка.

Решаем первое уравнение . Составляем характеристическое уравнение

.

Корни этого уравнения .

Так как корни характеристического уравнения действительные и равные , то решение уравнения (а) имеет вид:

Аналогично решаем второе уравнение . Соответствующее ему характеристическое уравнение также имеет действительные и равные корни . Решение второго уравнения имеет вид:

.

Итак, движение точки по плоскости ху описывается уравнениями

, (3.2)

где С_1, С₂, С₃, С₄ - постоянные интегрирования. Определим из этих уравнений проекции скорости точки на оси координат:

(3.3)

Постоянные интегрирования найдем из начальных условий движения точки: . Подставим начальные условия в уравнения (3.2), (3.3) и получим:

Подставляя эти значения в (3.2) и (3.3), получим окончательно уравнения движения точки и значения проекций скорости точки на оси координат:

(3.4)

(3.5)

Определим уравнение траектории точки. Уравнения (3.4) можно рассматривать как параметрические уравнения траектории точки. Для того, чтобы получить уравнение траектории точки в координатной форме, исключим t из этих уравнений, получим . Траекторией точки является парабола, вершина которой находится в начале координат. Точка движется по правой ветви параболы и при t₁=0,25 c, ее координаты равны: x₁ = 1,6м_; у₁= 1,33м.

Проекции скорости на оси координат определяются уравнениями (3.5).

При t₁ = 0,25 c .

Модуль скорости , V₁=6,6м/c.

Проекции ускорения найдем, дифференцируя по времени уравнения (3.5).

При t=0,25 c, a_x=6,4 м/c², a_y=21,6 м/c².

Модуль ускорения = , a₁ =22,5 м/c². Модуль касательного ускорения при t ₁ равен

.

Модуль полного ускорения выразим через нормальное и касательное ускорения:

.

Отсюда находим нормальное ускорение в заданный момент времени:

Радиус кривизны траектории в рассматриваемой точке определяется из формулы нормального ускорения . Отсюда .

На рис.3.2 показано положение точки М в заданный момент времени

t₁ =0,25 c. В этот момент х=1,6м , у=1,33м. Вектор строим по его проекциям и . Вектор строим по проекциям и , и затем раскладываем на составляющие и .