3. Динамика
Задание Д 1. Динамика материальной точки.
Решение 2-ой задачи динамики
Материальная
точка массой m
= 1 кг движется
по горизонтальной плоскости под действием
силы
,
значения проекций которой указаны в
таблице.
Определить
уравнения движения точки при заданных
начальных условиях: при t=0
координаты точки x=x0,
y=y0
,а проекции
скорости
,
.
Построить траекторию
движения точки, указать на ней положение
точки в заданный момент времени T1,
найти скорость V,
касательное, нормальное и полное
ускорение точки, радиус кривизны
траектории в этот момент времени.
.
Исходные данные
Таблица 3.1
№ |
Fx,H |
Fy,H |
x0,м |
|
y0,м |
|
T1,с |
1 |
8cos2t |
12sin2t |
-2 |
0 |
0 |
-6 |
π/6 |
2 |
18sin3t |
27cos3t |
0 |
-6 |
-2 |
0 |
π/6 |
3 |
8 |
0 |
2 |
2 |
0 |
4 |
1 |
4 |
0 |
12 |
3 |
6 |
3 |
0 |
1 |
5 |
18cos3t |
0 |
-2 |
0 |
0 |
3 |
2π/9 |
6 |
0 |
27sin3t |
0 |
3 |
0 |
-9 |
2π/9 |
7 |
-4 |
0 |
3 |
0 |
0 |
-5 |
|
8 |
0 |
|
0 |
4 |
4 |
-8 |
1 |
9 |
|
|
0 |
- |
-2 |
0 |
1 |
10 |
-6 |
-10 |
3 |
1 |
4 |
5/3 |
1 |
11 |
12 sin2t |
8 cos2t |
0 |
-6 |
-2 |
0 |
π/3 |
12 |
27cos3t |
18sin3t |
-2 |
0 |
0 |
-6 |
π/3 |
13 |
10-0,2vx |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
5 |
14 |
0 |
10-0.3vy |
0 |
0 |
0 |
0 |
3 |
15 |
-4sint |
4cost |
0 |
4 |
-4 |
0 |
π/6 |
16 |
-0,2vx |
0 |
-50 |
10 |
0 |
0,2 |
10 |
17 |
0 |
-0.3vy |
0 |
0,3 |
-30 |
9 |
10 |
18 |
-6/(t+1)3 |
0 |
-1 |
2 |
1 |
3 |
2 |
19 |
-4x |
-4y |
5 |
0 |
0 |
10 |
π/6 |
20 |
4sint |
0 |
2 |
-4 |
0 |
1 |
π/3 |
22 |
0 |
5sint |
0 |
1 |
0 |
-5 |
π/6 |
23 |
5cost |
0 |
-5 |
0 |
0 |
|
π/2 |
24 |
0 |
6cost |
0 |
2 |
-6 |
0 |
1 |
25 |
9x |
9y |
0 |
4 |
6 |
0 |
1 |
26 |
-9x |
-9y |
4 |
0 |
0 |
12 |
π/6 |
27 |
-2π2cosπt |
-2π2sinπt |
2 |
0 |
0 |
2π |
1/3 |
28 |
2t |
3 |
1 |
2 |
3 |
2 |
1 |
29 |
4 |
3t |
0 |
2 |
3 |
0 |
1 |
30 |
4t+1 |
8t+2 |
1 |
3 |
2 |
3 |
1 |
31 |
12cos2t |
12sin2t |
-3 |
0 |
0 |
-6 |
π/6 |
32 |
27sin3t |
27cos3t |
0 |
-9 |
-3 |
0 |
1 |
33 |
5t+2 |
10t+4 |
2 |
1 |
2 |
1 |
0,5 |
34 |
2 |
0 |
2 |
2 |
1 |
2 |
1 |
35 |
0 |
6 |
2 |
3 |
1 |
0 |
1 |
36 |
2еt |
12е2t |
2 |
2 |
3 |
6 |
1 |
37 |
4sin2t |
8cos2t |
0 |
-2 |
-2 |
0 |
π/6 |
38 |
-4cos2t |
8sin2t |
1 |
0 |
0 |
-4 |
π/6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
№
|
Fx,H |
Fy,H |
x0,м |
,м/с |
y0,м |
,м/с |
T1,с |
39 |
4 е2t |
8 еt |
1 |
2 |
8 |
8 |
1 |
40 |
5е2t |
0 |
5/4 |
5/2 |
1 |
2 |
1 |
41 |
|
|
0 |
|
-2 |
0 |
1 |
42 |
3t |
6t |
3 |
0 |
6 |
0 |
1 |
43 |
-8sin2t |
4cos2t |
0 |
4 |
-1 |
0 |
π/6 |
44 |
|
|
0 |
|
-2 |
0 |
1 |
45 |
12t |
0 |
2 |
0 |
1 |
2 |
1 |
46 |
16e2t |
4et |
4 |
8 |
4 |
4 |
1 |
47 |
-16sin2t |
0 |
0 |
8 |
1 |
2 |
π/6 |
48 |
-8cos2t |
12sin2t |
-2 |
0 |
0 |
-6 |
π/6 |
49 |
18sin3t |
-27cos3t |
0 |
-6 |
2 |
0 |
π/6 |
50 |
12 |
0 |
2 |
2 |
0 |
4 |
1 |
51 |
0 |
-0.2vy |
0 |
0,3 |
-30 |
9 |
10 |
52 |
10-0,1vx |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
5 |
53 |
0 |
16 |
3 |
6 |
3 |
0 |
1 |
54 |
4sin2t |
-8cos2t |
0 |
-2 |
-2 |
0 |
π/6 |
55 |
-18/(t+1)3 |
0 |
-3 |
6 |
3 |
3 |
2 |
56 |
-0,2vx |
0 |
-50 |
10 |
0 |
0,2 |
10 |
57 |
0 |
|
0 |
4 |
4 |
-4 |
1 |
58 |
16e2t |
-4et |
4 |
8 |
-4 |
-4 |
1 |
59 |
8 |
0 |
2 |
2 |
0 |
4 |
1 |
60 |
0 |
-0.3vy |
0 |
0,3 |
-30 |
9 |
10 |
61 |
10-0,2vx |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
5 |
62 |
3t |
6t |
3 |
0 |
6 |
0 |
1 |
63 |
8cos2t |
-12sin2t |
-2 |
0 |
0 |
6 |
π/6 |
64 |
0 |
6-0,3vy |
0 |
0 |
0 |
0 |
4 |
65 |
-6/(t+1)3 |
0 |
-1 |
2 |
1 |
3 |
2 |
66 |
9x |
9y |
0 |
4 |
6 |
0 |
1 |
67 |
0 |
12 |
3 |
6 |
3 |
0 |
1 |
68 |
4sin2t |
-8cos2t |
0 |
-2 |
2 |
0 |
π/6 |
69 |
-18sin3t |
27cos3t |
0 |
-6 |
-2 |
0 |
π/6 |
70 |
-0,15vx |
0 |
-50 |
10 |
0 |
0,2 |
10 |
71 |
-2π2cosπt |
-2π2sinπt |
2 |
0 |
0 |
2π |
1/3 |
72 |
0 |
|
0 |
4 |
2 |
-1 |
1 |
73 |
24e2t |
3et |
6 |
12 |
3 |
3 |
1 |
74 |
5 |
0 |
2 |
2 |
0 |
4 |
1 |
75 |
3t |
6t |
3 |
0 |
6 |
0 |
1 |
76 |
10-0,2vx |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
5 |
77 |
12sin2t |
16cos2t |
0 |
-6 |
-4 |
0 |
π/6 |
78 |
0 |
11 |
3 |
6 |
3 |
0 |
1 |
79 |
-4sin2t |
-8cos2t |
0 |
2 |
2 |
0 |
π/6 |
80 |
5е2t |
0 |
5/4 |
5/2 |
1 |
2 |
1 |
81 |
8 |
0 |
2 |
2 |
0 |
4 |
1 |
82 |
25x |
25y |
0 |
4 |
6 |
0 |
1 |
83 |
18 |
0 |
0 |
0 |
2 |
3 |
1 |
84 |
-0,25vx |
0 |
-50 |
10 |
0 |
0,2 |
10 |
85 |
12t |
6t |
0 |
0 |
0 |
0 |
1 |
86 |
0 |
-0.3vy |
0 |
0,3 |
-30 |
9 |
10 |
87 |
0 |
12 |
3 |
6 |
3 |
0 |
1 |
88 |
8e2t |
4et |
2 |
4 |
4 |
4 |
1 |
89 |
-2π2cosπt |
-2π2sinπt |
2 |
0 |
0 |
2π |
1/3 |
№ |
Fx,H |
Fy,H |
x0,м |
,м/с |
y0,м |
,м/с |
T1,с |
90 |
-8cos2t |
-12sin2t |
-2 |
0 |
0 |
-6 |
π/6 |
91 |
3x |
3y |
0 |
3 |
2 |
0 |
π/6 |
92 |
4 |
0 |
2 |
2 |
0 |
4 |
1 |
93 |
-4sin2t |
8cos2t |
0 |
2 |
-2 |
0 |
π/6 |
94 |
-6/(t+1)3 |
0 |
-1 |
2 |
1 |
3 |
2 |
95 |
16x |
16y |
0 |
4 |
6 |
0 |
1 |
96 |
-18sin3t |
-27cos3t |
0 |
6 |
3 |
0 |
π/6 |
97 |
5е2t |
0 |
5/4 |
5/2 |
1 |
2 |
1 |
98 |
16-0,2vx |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
5 |
99 |
-4sin2t |
-12cos2t |
0 |
-2 |
-6 |
0 |
π/6 |
100 |
0 |
10 |
3 |
6 |
3 |
0 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
,м/с
,м/с
Пример. Движение точки по горизонтальной плоскости
Материальная
точка (рис.3,1) массой 2
кг движется
по горизонтальной плоскости под
действием силы
,
где i
и j-
орты осей координат Ox
и Oy.
При t
= 0 положение
точки определяется координатами:
,
а проекции скорости на координатные
оси соответственно равны
.
Определить, пренебрегая трением, уравнения движения точки. Построить траекторию, указать на ней положение точки, найти скорость, касательное, нормальное, полное ускорения точки и радиус кривизны при t = 0,25 с.
Решение.
На точку, находящуюся на горизонтальной
плоскости, действуют сила тяжести
,
реакция плоскости
и сила
.
Запишем дифференциальные уравнения
движения точки
i
j
Найдем проекции действующих сил на оси х и у. Сила тяжести и реакция опорной плоскости параллельны оси z, поэтому их проекции на указанные оси координат равны нулю. Проекции силы на оси координат равны:
,
где
.