4.4. Оценка дисперсии возмущений

Оценка метода наименьших квадратов является «наилучшей» линейной оценкой параметра . Перейдем к оценке дисперсии возмущений .

Выборочная остаточная дисперсия определяется по формуле:

. (4.21)

В знаменателе выражения (4.21) стоит n – (p+1), а не n – 2, как это было выше. Это связано с тем, что теперь (р+1) степеней свободы (а не две) теряются при определении неизвестных параметров, число которых вместе со свободным членом равно (р+1).

4.5. Определение доверительных интервалов для коэффициентов и функции регрессии

Перейдем теперь к оценке значимости коэффициентов регрессии и построению доверительного интервала для параметров регрессионной модели .

,

где – несмещенная оценка параметра ;

– диагональный элемент матрицы .

Среднее квадратическое отклонение (стандартная ошибка) коэффициента регрессии примет вид:

. (4.22)

Значимость коэффициента регрессии

. (4.23)

доверительный интервал для параметра

. (4.23')

доверительный интервал для :

, (4.24)

где – групповая средняя, определяемая по уравнению регрессии,

(4.25)

– ее стандартная ошибка.

доверительный интервал для индивидуальных значений зависимой переменной :

, (4.26)

где

. (4.27)

Доверительный интервал для параметра с соответствующим изменением числа степеней свободы критерия :

. (4.28)

Пример 4.3. По данным примера 4.1 оценить сменную добычу угля на одного рабочего для шахт с мощностью пласта 8 м и уровнем механизации работ 6%; найти 95%-ные доверительные интервалы для индивидуального и среднего значений сменной добычи угля на 1 рабочего для таких же шахт. Проверить значимость коэффициентов регрессии и построить для них 95%-ные доверительные интервалы. Найти интервальную оценку для дисперсии .

Решение. В примере 4.1 уравнение регрессии .

надо оценить , где .

Выборочной оценкой является групповая средняя, которую найдем по уравнению регрессии:

.

Для построения доверительного интервала для необходимо знать дисперсию его оценки – . Для ее вычисления обратимся к табл. 4.2 (точнее к ее двум последним столбцам, при составлении которых учтено, что групповые средние определяются по полученному уравнению регрессии). Теперь по (4.21): и .

Определяем стандартную ошибку групповой средней по формуле (4.25). Вначале найдем

Теперь .

По табл. II приложений при числе степеней свободы k=10–2–1=7 находим . По (4.24) доверительный интервал для равен

,

или

Найдем доверительный интервал для индивидуального значения при :

по (4.27):

и по (4.26): ,

т. е. .

Проверим значимость коэффициентов регрессии и . В примере 4.1 получены и . Стандартная ошибка в соответствии с (4.22) равна

.

Так как , то коэффициент значим. Аналогично вычисляем и т.е. коэффициент незначим на 5%-ном уровне.

Доверительный интервал имеет смысл построить только для значимого коэффициента регрессии : по (4.23'):

, или .

Найдем 95%-ный доверительный интервал для параметра . Учитывая, что , найдем по таблице III приложений n–p–1=n–2–1=n–3 степенях свободы

;

.

По формуле (4.28) ,

или и .