Парный регрессионный анализ
(Подробнее Кремер Н.Ш., Путко Б.А. Эконометрика,
с.50-106
Задачами регрессионного анализа являются установление формы зависимости между переменными, оценка функции регрессии, оценка неизвестных значений (прогноз значений) зависимой переменной.
3.1. Функциональная, статистическая
и корреляционная зависимости
В естественных науках часто речь идет о функциональной зависимости (связи), когда каждому значению одной переменной соответствует вполне определенное значение другой (например, скорость свободного падения в вакууме в зависимости от времени и т.д.).
В экономике в большинстве случаев между переменными величинами существуют зависимости, когда каждому значению одной переменной соответствует не какое – то определенное, а множество возможных значений другой переменной (статистическая зависимость).
Корреляционной зависимостью между двумя переменными называется функциональная зависимость между значениями одной из них и условным математическим ожиданием другой.
Корреляционная зависимость может быть представлена в виде
(3.1)
или
,
где
.
Уравнение (3.1) называется модельным уравнением регрессии (или просто уравнением регрессии).
,
(3.2)
Уравнение (3.2) называется выборочным уравнением регрессии.
3.2. Линейная парная регрессия
Рассмотрим в
качестве примера зависимость между
сменной добычей угля на одного рабочего
и мощностью пласта
по
следующим (условным) данным, характеризующим
процесс добычи угля в
= 10 шахтах.
Таблица 3.1
i |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
10 |
|
8 |
11 |
12 |
9 |
8 |
8 |
9 |
9 |
8 |
12 |
|
5 |
10 |
10 |
7 |
5 |
6 |
6 |
5 |
6 |
8 |
Рис. 3.1
Уравнение регрессии (3.2) будем искать в виде линейного уравнения
(3.3)
Отвлечемся на время от рассматриваемого примера и найдем формулы расчета неизвестных параметров уравнения линейной регрессии.
Согласно методу наименьших квадратов
(3.4)
Система нормальных уравнений для определения параметров линейной регрессии:
(3.5)
Разделив обе части уравнений (3.5) на п, получим систему нормальных уравнений в виде:
(3.6)
где
(3.7)
(3.9)
(3.8)
(3.10)
(3.11)
(3.12)
Коэффициент
называется выборочным коэффициентом
регрессии (или просто коэффициентом
регрессии)
no
.
Коэффициент регрессии по показывает, на сколько единиц в среднем изменяется переменная Y при увеличении переменной на одну единицу.
Решая систему (3.6),
(3.13)
где
— выборочная дисперсия переменной X:
,
(3.14)
—
выборочный
корреляционный момент или выборочная
ковариация:
(3.15)
Пример 3.1. По данным табл. 3.1 найти уравнение регрессии по .
Решение. Вычислим все необходимые суммы:
Затем по формулам (3.7) – (3.15) находим выборочны характеристики и параметры уравнений регрессии:
уравнение регрессии У по X:
Из уравнения регрессии следует, что при увеличении мощности пласта X на 1 м добыча угля на одного рабочего Y увеличивается в среднем на 1,016 т (в усл. ед.).