5.6. Расчет устойчивости и построение области устойчивости системы

Произведем расчет устойчивости основного контура регулирования, алгоритмическая структура которого представлена на рисунке 32.

Рисунок 32 – Алгоритмическая структура основного контура регулирования

Управляемый объект описывается инерционным звеном первого порядка с запаздыванием, но для удобства моделирования в системе MATLAB 6.5 опишем его двумя последовательно соединенными звеньями: инерционным звеном первого порядка (5.7.1) и звеном запаздывания (5.7.2.).

(5.7.1)

(5.7.2)

Регулятор реализует ПИ закон регулирования и описывается следующим звеном при настроечных параметрах (5.7.3):

(5.7.3)

Исследование устойчивости проводится по критерию Найквиста.

Формулировка критерия Найквиста: замкнутая система будет устойчива, если АФЧХ разомкнутого контура при изменении частоты от 0 до ∞ не охватывает точку с координатами (-1,j0).

Запасы устойчивости по амплитуде и фазе определяются по АФЧХ (основная трактовка критерия Найквиста) или ЛАЧХ и ЛФЧХ (логарифмический критерий Найквиста) разомкнутого контура. Запас устойчивости по амплитуде ΔА должен составлять не менее 0,4 в комплексных координатах или не менее 8 дБ в логарифмических координатах; по фазе Δφ – не менее 30º.

Анализ устойчивости объекта по критерию Найквиста произведем с помощью функций NYQUIST и MARGIN комплекса CONTROL SYSTEM TOOLBOX приложения MATLAB 6.5.

Листинг программы:

%Опишем звено, реализующее ПИ регулятор с расчетными настройками

num1=[28.5 3];

den1=[9.5 0];

sys1=tf([num1],[den1]);

%Опишем звено, реализующее объект регулирования

num2=[0.7];

den2=[15 1];

sys2=tf([num2],[den2]);

[num3,den3]=pade(5);

sys3=tf([num3],[den3]);

sys=append(sys1,sys2,sys3);

%Запишем матрицу связей для разомкнутого контура

Q=[1 0 0; 2 1 0; 3 2 0];

in=[1];

out=[3];

system=connect(sys,Q,in,out);

%Получим АФЧХ разомкнутого контура системы

nyquist(system);

pause;

%Получим логарифмические частотные характеристики

margin(system);

Амплитудно-фазовая частотная характеристика контура представлена на рисунке 33.

Рисунок 33 – Амплитудно-фазовая частотная характеристика основного контура регулирования

Запасы устойчивости определяются по логарифмической амплитудной и логарифмической фазовой характеристикам, которые приведены на рисунке 34.

Рисунок 34 – ЛАЧХ и ЛФЧХ основного контура регулирования

Запас устойчивости по амплитуде ΔA =8.99 dB.Запас устойчивости по фазе Δφ =35.4º.

Система является устойчивой. Запас устойчивости по амплитуде и по фазе превосходят требования A8 dB, 30.

Область устойчивости будем строить в плоскости параметров настройки регулятора К_р и К_р/Т_и. С учетом этого передаточная функция ПИ-регулятора перепишется в виде

, (5.7.4)

где .

Запишем характеристическое уравнение в общем виде:

(5.7.5)

и для заданной системы:

(5.7.6)

Преобразуем выражение (5.7.6):

(5.7.7)

Сделаем в выражении (5.7.7) подстановку p=jω и с учетом того, что , перепишем (5.7.7):

, (5.7.8)

а после перемножения скобок получим:

. (5.7.9)

Приравняем действительную и мнимую части характеристического уравнения (5.7.9) нулю и запишем систему уравнений, причем первым в системе уравнений записывают действительную часть характеристического уравнения. Параметр, который при построении области устойчивости будет откладываться по оси абсцисс, должен в обоих уравнениях системы стоять первым. С учетом вышесказанного запишем:

(5.7.10)

Введем обозначения:

С учетом этих обозначений перепишем систему уравнений (5.7.10):

(5.7.11)

Это система, состоящая из двух линейных неоднородных уравнений с двумя неизвестными.

Решим эту систему уравнений, используя формулы Крамера

, (5.7.12)

где

(5.7.13)

(5.7.14)

(5.7.15)

С учетом решения определителей Δ, Δ₁, Δ₂ перепишем выражения (5.7.12):

(5.7.16)

(5.7.17)

Задаваясь значениями частоты ω, по формулам (5.7.16) и (5.7.17) вычисляют значения К_р и К_р/Т_и и заносят их в таблицу 8.

Таблица 8 К построению области устойчивости замкнутой системы в плоскости двух параметров

ω	0	0,1	0,2	0,3	0,4
Кр	-1,42	0,93	2,85	6,3	8,39
Кр/Ти	0	0,25	0,7	0,57	-0,9

По данным таблицы 8 строим кривую Д-разбиения, наносим штриховку. Составляем уравнения особых прямых и штрихуем их. Если Δ>0, то то штриховка наносится слева кривой при движении ω в сторону увеличения, а если Δ<0, то штриховка наносится справа кривой при движении ω в сторону увеличения.

Штриховка основной кривой – двойная.

Уравнение особой прямой найдем, подставив в первое уравнение системы значение частоты ω=0. Отсюда и уравнение особой прямой будет , что соответствует Т_и=∞

Особые прямые, соответствующие ω_и=0 и ω_и=∞, штрихуют один раз. Причем, если в точке пересечения определитель Δ меняет знак, то штриховка особой прямой переходит на противоположную сторону прямой, если же знак определителя не меняется, то направление штриховки остается прежним.

Рисунок 35 – Область устойчивости замкнутой системы в плоскости параметров настройки ПИ-регулятора