4. Микро- и макропараметры газа

Теперь можно приступить к описанию параметров идеального газа. Они делятся на две группы:

Параметры идеального газа

  То есть микропараметры описывают состояние отдельно взятой частицы (микротела), а макропараметры – состояние всей порции газа (макротела). Запишем теперь соотношение, связывающее одни параметры с другими, или же основное уравнение МКТ:

Здесь:  - средняя скорость движения частиц;

Определение.  – концентрация частиц газа – количество частиц, приходящихся на единицу объёма; ; единица измерения – .

5. Среднее значение квадрата скорости молекул

   Для вычисления среднего давления надо знать среднюю скорость молекул (точнее, среднее значение квадрата скорости). Это не простой вопрос. Вы привыкли к тому, что скорость имеет каждая частица. Средняя же скорость молекул зависит от движения всех частиц.    Средние значения. С самого начала нужно отказаться от попыток проследить за движением всех молекул, из которых состоит газ. Их слишком много, и движутся они очень сложно. Нам и не нужно знать, как движется каждая молекула. Мы должны выяснить, к какому результату приводит движение всех молекул газа.    Характер движения всей совокупности молекул газа известен из опыта. Молекулы участвуют в беспорядочном (тепловом) движении. Это означает, что скорость любой молекулы может оказаться как очень большой, так и очень малой. Направление движения молекул беспрестанно меняется при их столкновениях друг с другом.    Скорости отдельных молекул могут быть любыми, однако среднее значение модуля этих скоростей вполне определенное. Точно так же рост учеников в классе неодинаков, но его среднее значение - определенное число. Чтобы это число найти, надо сложить рост отдельных учеников и разделить эту сумму на число учащихся.    Среднее значение квадрата скорости. В дальнейшем нам понадобится среднее значение не самой скорости, а квадрата скорости. От этой величины зависит средняя кинетическая энергия молекул. А средняя кинетическая энергия молекул, как мы вскоре убедимся, имеет очень большое значение во всей молекулярно-кинетической теории.    Обозначим модули скоростей отдельных молекул газа через . Среднее значение квадрата скорости определяется следующей формулой:

где N - число молекул в газе.    Но квадрат модуля любого вектора равен сумме квадратов его проекций на оси координат ОХ, ОY, ОZ. Поэтому

   Средние значения величин можно определить с помощью формул, подобных формуле (8.9). Между средним значением  и средними значениями квадратов проекций существует такое же соотношение, как соотношение (8.10): 

   Действительно, для каждой молекулы справедливо равенство (8.10). Сложив такие равенства для отдельных молекул и разделив обе части полученного уравнения на число молекул N, мы придем к формуле (8.11).    Внимание! Так как направления трех осей ОХ, ОY и OZ вследствие беспорядочного движения молекул равноправны, средние значения квадратов проекций скорости равны друг другу:

   Видите, из хаоса выплывает определенная закономерность. Смогли бы вы это сообразить сами?    Учитывая соотношение (8.12), подставим в формулу (8.11) вместо и . Тогда для среднего квадрата проекции скорости получим:

т. е. средний квадрат проекции скорости равен 1/3 среднего квадрата самой скорости. Множитель 1/3 появляется вследствие трехмерности пространства и соответственно существования трех проекций у любого вектора.    Скорости молекул беспорядочно меняются, но средний квадрат скорости вполне определенная величина.   6. Основное уравнение молекулярно-кинетической теории   Приступаем к выводу основного уравнения молекулярно-кинетической теории газов. В этом уравнении устанавливается зависимость давления газа от средней кинетической энергии его молекул. После вывода этого уравнения в XIX в. и экспериментального доказательства его справедливости началось быстрое развитие количественной теории, продолжающееся по сегодняшний день.    Доказательство почти любого утверждения в физике, вывод любого уравнения могут быть проделаны с различной степенью строгости и убедительности: очень упрощенно, более или менее строго или же с полной строгостью, доступной современной науке.    Строгий вывод уравнения молекулярно-кинетической теории газов довольно сложен. Поэтому мы ограничимся сильно упрощенным, схематичным выводом уравнения. Несмотря на все упрощения, результат получится верный.    Вывод основного уравнения. Вычислим давление газа на стенку CD сосуда ABCD площадью S, перпендикулярную координатной оси OX (рис.8.13).   

При ударе молекулы о стенку ее импульс изменяется: . Так как модуль скорости молекул при ударе не меняется, то  . Согласно второму закону Ньютона изменение импульса молекулы равно импульсу подействовавшей на нее силы со стороны стенки сосуда, а согласно третьему закону Ньютона таков же по модулю импульс силы, с которой молекула подействовала на стенку. Следовательно, в результате удара молекулы на стенку подействовала сила, импульс которой равен .

   Молекул много, и каждая из них передает стенке при столкновении такой же импульс. За секунду они передадут стенке импульс ,  где Z - число столкновений всех молекул со стенкой за это время. Число очевидно, прямо пропорционально концентрации молекул, т. е. числу молекул в единице объема. Кроме того, число Z пропорционально скорости молекул . Чем больше эта скорость, тем больше молекул за секунду успеет столкнуться со стенкой. Если бы молекулы «стояли на месте», то столкновений их со стенкой не было бы совсем. Кроме того, число столкновений молекул со стенкой пропорционально площади поверхности стенки S: . Надо еще учесть, что в среднем только половина всех молекул движется к стенке. Другая половина движется в обратную сторону. Значит, число ударов молекул о стенку за время 1 с и полный импульс, переданный стенке за 1 с, равен:

   Согласно второму закону Ньютона изменение импульса любого тела за единицу времени равно действующей на него силе: .    Учтем, что не все молекулы имеют одно и то же значение квадрата скорости . В действительности средняя за секунду сила, действующая на стенку, пропорциональна не , а среднему квадрату скорости : . Так как согласно формуле (8.13) , то . Таким образом, давление газа на стенку сосуда равно:

   Это и есть основное уравнение молекулярно-кинетической теории газов.    Формула (8.14) связывает макроскопическую величину - давление, кото-рое может быть измерено манометром, - с микроскопическими величинами, характеризующими молекулы: их массой, скоростью хаотичного движения.   

Таким образом, основное уравнение МКТ вводит нам прямо пропорцио-нальную зависимость макропараметра давления от микропараметров массы молекулы и средней скорости движения в квадрате. То есть чем тяжелее частицы и чем больше их скорости, тем сильнее они врезаются в стенки сосуда и тем большее оказывают давление.

Возможны и другие формы записи этого уравнения, если вспомнить некоторые формулы из более ранних разделов физики:

 - средняя кинетическая энергия поступательного движения

Давление идеального газа пропорционально произведению концентра-ции молекул и средней кинетической энергии поступательного движения молекул.

Или же:

 – плотность газа

   Домашнее задание:

1.   Е.В. Коршак, А.И. Ляшенко, В.Ф. Савченко. Физика. 10 класс, «Генеза», 2010. Повторить §41 (с.138-139),

2. Учить лекционный материал.

3. Решить задачи № 5,6 упражнения 25.

4. Ответить на вопросы:    1. Газ способен к неограниченному расширению. Почему существует атмосфера у Земли?    2. Чем отличаются траектории движения молекул газа, жидкости и твердого тела? Нарисуйте примерные траектории молекул веществ, находящихся в этих состояниях.    3. Чем пренебрегают, когда реальный газ рассматривают как идеальный?    4. Газ оказывает давление на стенки сосуда. А давит ли один слой газа на другой?

5. Почему молекула при соударении со стенкой действует на нее с силой, пропорциональной скорости, а давление пропорционально квадрату скорости молекулы?    6. Почему и как в основном уравнении молекулярно-кинетической теории появляется множитель 1/3?    7. Как средняя кинетическая энергия молекул зависит от концентрации газа и его давления на стенки сосуда?

8.Почему с увеличением массы молекул увеличивается давление?

9.Почему модель идеального газа не соответствует действительности?

10. Воздух состоит в основном из азота и кислорода. Концентрация какого газа больше?

.