[ПС].Вышка.Шпоры.2семестр / шпоры_DOC / Неопределенный интеграл

Неопределенный интеграл. Неопределенным интегралом от функции f(x) называется общее выражение для всех первообразных данной непрерывной функции f(x) или от дифференциального выражения f(x)dx. Неопределенный интеграл обоначается

.

Интеграл является функцией общего вида, дифференциал которой равен подынтегральному выражению. Таким образом, можно записать:

.

Свойства неопределенного интеграла:

1. Дифференциал неопределенного интеграла равен подынтегральному выражению, а производная неопределенного интеграла равна подынтегральной функции (следует из определения).

2. Неопределенный интеграл от дифференциала непрерывной дифференцируемой функции равен самой этой функции с точностью до постоянного слагаемого.

3. Отличный от нуля постоянный множитель можно выносить за знак интеграла:Af(x)dx = A(F(x)+C) = AF(x) + C₁.

4. Неопределенный интеграл от алгебраической суммы конечного числа функций равен такой же алгебраической сумме интегралов этих функций:

f(x)dx + g(x)dx = (F(x) + C₁) + (G(x) + C₂) = (F(x) + G(x)) + C.

5. Неопределенный интеграл не зависит от выбора аргумента.

Доказательство: положим u = (x), где (х) – некоторая непрерывно дифференцируемая функция. Рассмотрим интеграл:

f(u)du = f(u)udx. (1)

В таком случае сложная функция F(u) = F((x)) является первообразной для подынтегральной функции интеграла (1). Действительно, в силу независимости дифференциала первого порядка от выбора переменной, получаем:

dF(u) = F(u)du = f(u)du.

И, следовательно,

.

Поэтому

f(u)du = F(u) + C,

где А(г) = а(г)б ч. т. д.