3. Дифференциалы высших порядков.

Пусть дифференцируемая в области функция двух независимых переменных и . Тогда в любой точке этой области, давая и приращения и , мы можем вычислить полный дифференциал:

.

Будем в дальнейшем называть его дифференциалом первого порядка. Как мы уже ранее отмечали, это функция четырех переменных , ,, . Закрепляя и , получаем функцию двух переменных и , определенную в области . Полный дифференциал от этой функции в любой точке области , если он существует, называетсядифференциалом второго порядкаот функции и обозначается или .

Дифференциал второго порядка это снова функция переменных и , определенная в области или ее части. Если от можно найти полный дифференциал, то будем называть егодифференциалом третьего порядкафункции и обозначать или .

Продолжая далее этот процесс, определим дифференциал -го порядка как полный дифференциал от дифференциала порядка .

Если функция имеет дифференциал порядка, то ее называютраз дифференцируемой.

Дифференциал первого порядка легко записать, зная первые частные производные. Дифференциалы высших порядков тоже могут быть выражены через частные производные. Покажем, например, как это сделать для дифференциала второго порядка.

Пусть функция – функция двух независимых аргументов и . Предположим, что имеет в области непрерывные частные производные второго порядка. Тогда по теореме4.2функция будет дифференцируемой в этой области и

. (4.10)

(здесь учтено, что , так как по условию они непрерывны).

Если теперь потребовать, чтобы функция имела в области непрерывные частные производные третьего порядка, то тоже

будет функцией дифференцируемой. Найдя ее дифференциал, получим

. (4.11)

Выражения (4.10) и (4.11) по форме похожи на формулы квадрата и куба двух величин. Это внешнее сходство дает основание для введения символической формулы для записи дифференциалов.

Рассмотрим символическое произведение

.

Формально раскроем скобку по биномиальному закону, умножим получившееся выражение на , а затем заменим каждое произведение частной производной .

Тогда ,

,

.

Можно доказать, что имеет место следующая теорема.

ТЕОРЕМА 4.3. Если все производные -го порядка функции в области непрерывны, то она раз дифференцируема. При этом имеет место символическая формула

. (4.12)

Таким образом, непрерывность всех частных производных -го порядка функции в области является достаточным условием существования в области дифференциала -го порядка этой функции.

Для функции трех и более числа переменных дифференциалы высших порядков определяются и обозначаются так же, как это было сделано для функции двух переменных. Непрерывность частных производных -го порядка также остается достаточным условием существования дифференциала -го порядка. А символическая формула для нахождения дифференциала функции будет иметь вид

,

при условии, что – независимые аргументы.

21