[ПС].Вышка.Шпоры.2семестр / шпоры_DOC / 07

криволинейного интеграла I рода

Пусть – спрямляемая кривая в пространстве , вдоль которой распределена масса. Определим массу кривой , если плотность распределения массы в каждой точке равна .

Эту задачу можно решить следующим образом. Разобьем кривую на дуг , , …, . На каждой дуге выберем произвольную точку . Если дуга мала, то можно считать ее однородной, с плотностью распределения массы . Тогда приближенное значение массы дуги будет равно

,

где – длина . Так как масса всей кривой равна сумме масс ее частей, то

.

Причем разность будет тем меньше, чем мельче разбиение кривой . Следовательно, точное значение массы кривой будет равно , (1)

где – наибольшая из длин .

К пределам вида (1) сводятся и ряд других задач математики и физики. Поэтому представляется целесообразным исследовать такие пределы, отвлекаясь от их конкретного содержания.

2. Определение и свойства криволинейного интеграла I рода

Пусть – спрямляемая кривая в пространстве и на кривой задана функция .

1. Разобьем кривую произвольным образом на частей, не имеющих общих внутренних точек:

, , …, .

2. На каждой дуге выберем произвольную точку и вычислим произведение , где – длина дуги .

Сумму назовем интегральной суммой для функции по кривой (соответствующей данному разбиению кривой и данному выбору точек ). Очевидно, что интегральная сумма зависит от способа разбиения кривой и выбора точек и, следовательно, для функции по кривой можно записать множество различных интегральных сумм.

Пусть – наибольшая из длин .

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Число называется пределом интегральных сумм при (обозначают ), если для любого существует такое, что для любого разбиения кривой у которого , при любом выборе точек выполняется неравенство

.

Если существует конечный предел интегральных сумм при , то его называют криволинейным интегралом I рода (по длине дуги) от функции по кривой .

Криволинейный интеграл I рода от функции по кривой обозначают

( называют подынтегральной функцией, – областью интегрирования, – переменные интегрирования, – дифференциал длины дуги).

Если существует , то функция называется интегрируемой по кривой .

Из определения следует, что криволинейный интеграл I рода не зависит от того, в каком направлении пробегается кривая , т.е.

.

Достаточное условие существования криволинейного интеграла I рода будет сформулировано позже, когда покажем способ его вычисления.

Определение криволинейного интеграла I рода по структуре такое же, как и определение определенного интеграла. Поэтому криволинейный интеграл I рода обладает теми же свойствами, что и определенный интеграл. Приведем эти свойства без доказательства.

СВОЙСТВА КРИВОЛИНЕЙНОГО ИНТЕГРАЛА I РОДА

1. , где – длина кривой .

2. Постоянный множитель можно выносить за знак криволинейного интеграла I рода, т.е. .

3. Криволинейный интеграла I рода от алгебраической суммы двух (конечного числа) функций равен алгебраической сумме криволинейных интегралов I рода от этих функций, т.е.

.

4. Если кривая разбита на две части и , не имеющие общих внутренних точек, то

(свойство аддитивности криволинейного интеграла I рода).

5. Если всюду на кривой функция (), то

.

6. Если всюду на кривой (), то .

7. (следствие свойств 6 и 1) Если и – соответственно наименьшее и наибольшее значения функции на кривой , то

,

где – длина кривой .

8. (теорема о среднем для криволинейного интеграла I рода) Если функция непрерывна на кривой ¹, то найдется такая точка , что справедливо равенство

,

где – длина кривой .

3. Вычисление криволинейного интеграла I рода

Пусть кривая задана параметрическими уравнениями:

, , (где ). (2)

Если функции , , имеют на непрерывные производные, которые не обращаются в нуль одновременно, то кривая называется гладкой.

Если функции , , имеют на кусочно-непрерывные производные, которые не обращаются в нуль одновременно, за исключением конечного числа точек, то кривая называется кусочно-гладкой.

Справедлива следующая теорема.

ТЕОРЕМА 1. Если – гладкая кривая, заданная уравнениями (2) и функция непрерывна на , то интегрируема по кривой и справедливо равенство

. (3)

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО

По определению

.

Так как , то такое, что

, , .

Следовательно,

.

Найдем . Пусть , – начало и конец дуги . Если мала, то можно предполагать, что

.

⇒ .

Но ,

.

Следовательно, .

Аналогично и .

Таким образом,

. (4)

(Считаем, что . Такое предположение допустимо, поскольку в противном случае будем считать , а для отрезка тогда получим ).

Итак, получили:

.

Пусть . По условию кривая – гладкая. Значит функции , , на непрерывны и в силу (4) при . Следовательно,

.

. ∎

НАПРИМЕР. Найти интеграл , где – один виток винтовой линии , , ().

Имеем: , , .

Следовательно,

.

СЛЕДСТВИЕ 2. Если – гладкая кривая в плоскости , заданная уравнением (где ) и функция непрерывна на , то интегрируема по кривой и справедливо равенство

.

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО

Пусть . Тогда , () – параметрические уравнения кривой . Следовательно, по формуле (3)

. ∎

СЛЕДСТВИЕ 3. Пусть – плоская кривая, заданная в полярных координатах уравнением (где ). Если функция непрерывно дифференцируема на и функция непрерывна на , то интегрируема по кривой и справедливо равенство

.

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО – самостоятельно

Подсказка: записать параметрические уравнения кривой, используя формулы перехода от полярных координат к декартовым и считая – параметром.

В заключение этого пункта сформулируем теорему, которая очевидным образом следует из теорем 1 – 3.

4. Геометрические и физические приложения

криволинейных интегралов I рода

1. Длина спрямляемой кривой может быть найдена по формуле

.

2. Пусть – цилиндрическая поверхность, образующей которой является кривая . Тогда площадь части поверхности , заключенной между плоскостью и поверхностью , может быть найдена по формуле

.

(доказательство – самостоятельно)

Пусть – материальная спрямляемая кривая в пространстве с плотностью . Тогда справедливы следующие формулы:

3. – масса кривой .

4. Статические моменты кривой относительно плоскостей , и равны соответственно:

, , .

5. , , – координаты центра тяжести кривой .

6. Моменты инерции кривой относительно осей , и равны соответственно:

,

,

.

7. – момент инерции кривой относительно начала координат.

1 Функция называется непрерывной на кривой , если выполняется условие . Если это условие выполнено в каждой точке кривой, за исключением конечного числа точек, в которых функция имеет разрывы I рода, то функция называется кусочно-непрерывной на кривой .

10