Розтягнутий стержень деформується , як це зображено на рисунку 2.2, і змінює свої подовжні та поперечні розміри на відповідні величини та (при стиску було б та ). Відносні деформації:

подовжня (6)

поперечна (7)

Експериментально встановлено, що в межах пружних деформацій для кожного матеріалу зберігається постійне відношення

(8)

Ця пружна константа називається коефіцієнтом поперечної деформації, або коефіцієнтом Пуассона.

Для будь-яких ізотропних матеріалів . Для більшості конструкційних матеріалів ; для пробки ; для гуми, рідини, а також при пластичних деформаціях твердих тіл можна прийняти .

Експерименти свідчать, що при навантаженні у відповідних межах для більшості матеріалів можна прийняти:

. (9)

Ця залежність має назву закон Гука і формулюється таким чином:

Нормальні напруження прямо пропорційні лінійним деформаціям.

В формулі (5) – модуль подовжньої пружності або модуль пружності першого роду. Він характеризує властивості матеріалу опиратися пружному деформуванню, тобто чим більший модуль , тим менше деформується матеріал. Оскільки – безрозмірна величина, то одиниці вимірювання ті ж, що і у , тобто Паскаль.

Для конструкційних сталей приймають , для міді .

Якщо в формулу (9) закону Гука підставити значення та згідно з (5) і (6), то отримаємо запис закону Гука для визначення абсолютних деформацій

. (10)

В цій формулі добуток називається жорсткістю при розтягу.

Слід відзначити, що формулою (10) можливо користуватися на ділянці стержня, в межах якої і залишаються постійними.

4. Розв'язання задачі

Приклад розв'язання задачі

Це завдання вимагає від студента уміння будувати епюри, поздовжніх сил, нормальних напруг і визначити подовження або вкорочення бруса.

При роботі бруса на розтяг і стиск в його поперечних перетинах виникає поздовжня сила N. Поздовжня сила в довільному поперечному перерізі бруса чисельно дорівнює алгебраїчній сумі проекцій на його поздовжню вісь всіх зовнішніх сил, що діють на відсічену частину.

Для розрахунку на міцність і визначення переміщень необхідно знати закон зміни поздовжніх сил по його довжині. Правило знаків: при розтязі поздовжня сила додатна, при стиску - від'ємна. Умова міцності при розтязі і стиску має вигляд , де σ, N - відповідно нормальне напруження і поздовжня сила в небезпечному перерізі (тобто в перерізі, де виникають найбільші напруги); А - площа поперечного перерізу; [σ] - допустима напруга. За умовою міцності можна вирішувати три види завдань:

1) перевірка міцності,

2) підбір перерізу ;

3) визначення допустимої навантаження .

Послідовність виконання завдання:

1. Розбити брус на ділянки, починаючи від вільного кінця. Межами ділянок є перетини, в яких прикладені зовнішні сили, а для напруг також і місця зміни розмірів поперечного перерізу.

2. Визначити за методом перерізів поздовжню силу для кожної ділянки (ординати епюри N;) і побудувати епюру поздовжніх сил N. Провівши паралельно осі бруса базову (нульову) лінію епюри, відкласти перпендикулярно їй в довільному масштабі одержані значення ординат. Через кінці ординат провести лінії, проставити знаки і заштрихувати епюру лініями, паралельно ординатам.

3. Для побудови епюри нормальних напружень визначаємо напруги в поперечних перерізах кожної із ділянок. У межах кожної ділянки напруги постійні, тобто епюра на даній ділянці зображується прямою, паралельною осі бруса.

4. Переміщення вільного кінця бруса визначаємо як суму подовжень (вкорочень) ділянок бруса, обчислених за формулою Гука.

Приклад 4. Для даного ступінчатого брусу (рис. 3, а) побудувати епюру поздовжніх сил, епюру нормальних напружень і визначити переміщення вільного кінця, якщо МПа; ; кН; ; ; .

Рис. 3

Розв'язання:

1. Розбиваємо брус на ділянки, як показано на рис. 3 а.

2. Визначаємо ординати епюри N на ділянках бруса:

; ; ; ; .

Будуємо епюру поздовжніх сил (рис. 3 б).

3. Обчислюємо ординати епюри нормальних напружень:

;

;

;

.

Будуємо епюру нормальних напружень (рис. 3, в).

4. Визначаємо переміщення вільного кінця:

;

;

;

;

;

.

Брус подовжується на 0,23 мм.