2. Формула Ейлера для визначення критичної сили стиснутого стрижня

Припустимо, що під дією сили  , величина якого трохи перевищує критичну силу  , стрижень із шарнірно закріпленими кінцями (рис. 2,а) злегка зігнувся (рис. 2,б).

а	б

Рис. 2. До визначення критичної сили стиснутого стрижня

Віднесемо скривлену вісь стрижня до прямокутної системи координат, вибравши початок координат у точці  .

Припустимо, що критична сила   не викликає в стрижні напружень, що перевищують границю пропорційності, і що розглядаються тільки малі відхилення від прямолінійної форми. Тоді для визначення критичної сили можна скористатися наближеним диференціальним рівнянням пружної лінії:

.

(3)

Тут   — найменший момент інерції перетину стрижня.

У розрахунок приймається найменша твердість стрижня  , так як очевидно, що прогин відбудеться перпендикулярно до осі найменшої жорсткості, якщо решта умов для згину у всіх площинах однакові, як у розглянутому випадку.

На відміну від поперечного вигину при поздовжньому в правій частині цього рівняння варто ставити знак «мінус», так як абсолютна величина згинального моменту

,

(4)

а знак прогину завжди протилежний знаку другій похідній, тобто знаки моменту   й другої похідної   протилежні при будь-якому напрямку .

Підставивши в рівняння (3) вираз (4) для згинального моменту, одержимо

,

(5)

або

(6)

Увівши позначення

(7)

перепишемо рівняння (6) так:

(8)

Ми одержали однорідне лінійне диференціальне рівняння, загальний інтеграл якого, як відомо, представляється гармонійною функцією

(9)

Постійні інтегрування   й   повинні бути підібрані так, щоб задовольняти граничним умовам

З першої граничної умови виходить, що  , тобто

(10)

Із другої умови одержуємо

(11)

Якщо допустити, що  , то прогин буде тотожно дорівнювати нулю, тобто

Це рішення відповідає однієї з можливих форм рівноваги стиснутого стрижня, а саме — прямолінійній формі. Нас же цікавить значення сили  , при якій стає можливої інша форма рівноваги — криволінійна. Тому що  , те при скривленій формі стрижня повинне виконуватися рівність

Корінь цього рівняння   може мати нескінченна безліч значень:  , тобто

де   — довільне ціле число.

Однак перший корінь   відпадає, тому що він не відповідає вихідним даним задачі. Таким чином,

(12)

Тоді з рівняння (14.7) одержимо вираз для стискаючої сили:

(13)

Рівняння (13) являє собою формулу, уперше отриману Ейлером.

Практично нас цікавить найменше значення поздовжньої стискаючої сили, при якому стає можливим поздовжній згин. Найменше значення критичної сили   одержимо при   й  :

(14)

Вертаючись до рівнянь (10) і (12), одержимо рівняння вигнутої осі стрижня при малих деформаціях:

Найбільший прогин стрижня   при  . Тоді  . Отже, рівняння пружної лінії стислого стрижня має вигляд

(15)

Графік цієї залежності показано на рис. 3.

Максимум   має місце при такому значенні  , для якого  , тобто  , або  .

Рис. 3. Пружна лінія стиснутого стрижня

Найменше значення аргументу, при якому косинус дорівнює нулю, буде  , виходить , звідки

(16)

Якщо  , те , а максимум   буде посередині стрижня, що відповідає так званому основному випадку, показаному на рис. 2.

Зі співвідношення (16) або з рівняння (15) і рис. 4 виходить, що   являє собою число напівхвиль синусоїди, що розташовуються на довжині зігнутого стрижня.

Рис. 4. Різне число напівхвиль синусоїди

Вплив умов закріплення кінців стрижня на величину критичної сили

Вище розглянуто так званий основний випадок навантаження і закріплення кінців стиснутого стрижня — стрижня із шарнірно обпертими кінцями. Як було показано, після втрати стійкості на довжині стрижня укладається тільки одна напівхвиля  .

Розглянемо інші випадки закріплення кінців стрижня:

1. Стрижень довжиною   жорстко затиснений одним кінцем і стиснутий поздовжньою силою, прикладеною до вільного кінця (рис. 5,а).

а	б

Рис. 5. Стрижень, жорстко затиснений одним кінцем

Порівнюючи рис. 14.5, а й б, бачимо, що вигнута вісь стрижня, жорстко затиснутого одним кінцем, перебуває в таких же умовах, як і верхня половина стрижня довжиною   із шарнірно закріпленими кінцями. Таким чином, критична сила для стрижня з одним затиснутим, а іншим вільним кінцем така ж, як і для стрижня із шарнірно обпертими кінцями при довжині  , тобто

(17)

При цьому вигнута вісь стрижня (рис. 14.5, а) має вигляд половини напівхвилі синусоїди.

2. Стрижень довжиною  , у якого обидва кінці жорстко затиснені (рис.6). Після втрати стійкості стрижня внаслідок симетрії середня його частина довжиною   працює в тих же умовах, що й стрижень при шарнірно обпертих кінцях. При цьому утворяться дві напівхвилі: середня, довжиною , і дві крайні половинки напівхвилі довжиною   .

Рис. 6. Стрижень, у якого обидва кінці жорстко затиснені

Критичну силу в цьому випадку знаходимо з рівняння (14) при  :

(18)

3. Стрижень довжиною   забитий одним кінцем і шарнірно обпертий на іншому (рис. 7). Після втрати стійкості права частина   стрижня має вигляд напівхвилі синусоїди. З порівняння рис. 7 і 5, б знаходимо, що ділянка   довжиною   перебуває в таких же умовах, як і стрижень із шарнірно закріпленими кінцями. Виходить,

(19)

Рис. 7. Стрижень, затиснений одним кінцем і шарнірно обпертий іншим

Співвідношення (14), (17) – (19) можна об'єднати в одну формулу

(20)

де   — наведена довжина стрижня;   — фактична довжина стрижня;

 — коефіцієнт приведення довжини.

Таким чином, різні випадки обпирання й навантаження стрижня приводяться до основного випадку введенням у формулу наведеної довжини  . Це поняття вперше було уведено Ф. С. Ясинським.

З формули Ейлера (20) видно, що критичне навантаження залежить від найменшої жорсткості  , довжини стрижня   й коефіцієнта  .

Рис. 8. Значення коефіцієнтів приведення довжини