2. Кручення стержнів із круглим поперечним перерізом

Рис. 2

Крученням називається такий вид деформування, при якому з усіх внутрішніх силових факторів ненульовим є тільки момент що крутить, Мz. Кручення прямого бруса відбувається при навантажені його зовнішніми крутними моментами, площина дії яких перпендикулярна до подовжньої осі бруса. Бруси, що працюють на кручення, звичайно називають валами, осями.

Розглянемо круглий брус АВ, жорстко закріплений у площини MN, до вільного кінця якого прикладена пара сил, яка лежить у площині, перпендикулярній до осі бруса (рис. 2).

Ця пара сил створює момент M_z = Fa, що скручує брус. Досвід показує, що при закрученні на невеликий кут у межах пропорційності матеріалу діаметр бруса і його довжина не змінюються, вісь залишається прямою, а поперечний переріз плоским. Зміна форми відмічається твірними ab стержня, що із прямих ліній стають гвинтовими (рис. 2).

Тобто при крученні відбувається зсув поперечних перерізів бруса, кожний поперечний переріз повертається навколо осі х як жорсткий тонкий диск.

Внутрішні зусилля при крученні. Крутний момент

Внутрішні крутні моменти в поперечних перерізах валу визначаються методом перерізів з умови рівноваги відсіченої частини вала:

ΣМ_z = 0.

Крутний момент у довільному поперечному перерізі валу дорівнює алгебраїчній сумі зовнішніх моментів, що скручують (включаючи і реакції закріплення), прикладених до нього по одну сторону від розглянутого перерізу.

У найпростішому випадку, коли вал, навантажений по краях тільки двома зовнішніми моментами, що рівні один одному за величиною і зворотними з напрямком, крутний момент у будь-якому поперечному перерізі вала за величиною дорівнює цим зовнішнім моментам.

Рис. 3

У більш складних випадках, коли до вала прикладені кілька зовнішніх моментів, крутні моменти у поперечних перерізах будуть неоднакові на різних ділянках вала.

При розрахунках на міцність і жорсткість знак моменту, що крутить, не має особливого значення, однак для зручності прийняте наступне правило знаків: крутний момент, вважається додатним, якщо при погляді в торець відсіченої частини вала, зовнішній момент представляється спрямованим по годинниковій стрілці. Додатні і від’ємні напрямки моменту, що крутить, показані на рис.4.

Зміну крутних моментів по довжині вала зручно представляти за допомогою епюр моментів, які будуються згідно загальнім правилам. При побудові епюр моментів варто мати на увазі, що в перерізі, у якому на вал діє зовнішній зосереджений момент, ордината епюри міняється стрибкоподібно на величину, рівну значенню цього моменту.

Рис. 4

Якщо прямий вал знаходиться у стані спокою чи рівномірного обертання, то алгебраїчна сума всіх зовнішніх моментів, прикладених до нього дорівнює нулю. При розрахунку валів у ряді випадків величини зовнішніх моментів, що скручують, визначають за величиною споживаної потужності і по швидкості обертання вала. Якщо вал робить за хвилину n оборотів, то кут повороту вала за 1 секунду, виражений у радіанах, дорівнює

Робота моменту, що скручує, М_скр за 1 сек, тобто потужність Р, що передається валом, дорівнює добутку величини моменту, що скручує, на кут повороту вала в радіанах за секунду:

Звідси, якщо потужність виражена в кН·м, знаходимо:

(кНм)

Розглянемо методику побудови епюр крутних моментів на прикладі. Нехай вал АВ /рис.5,а/ обертається рівномірно. Тоді алгебраїчна сума крутильних моментів, прикладених до шківів, дорівнює нулю: Т₁ + Т₂ + Т₃ + Т₄ = 0. Розбиваємо вал на силові ділянки: І, ІІ, ІІІ, ІV, V . Межами кожної з них є перерізи, на яких розміщені шківи, а та­кож початок і кінець вала. Оскільки тертям в підшипниках нехтуємо, то в довільному перерізі на ділянках І і V крутний момент дорівнює нулю, тобто

Мк₁ = 0, Мк_V=0.

Рис.5. Епюра крутних моментів навантаженого вала

Проведемо довільний поперечний переріз на ділянці ІІ вала в межах 0 ≤ ≤ а. Частина вала зліва від перерізу /рис.6/ буде роз­міщена в рівновазі під дією крутильного момента Т₁ і крутного момента в перерізі ; тоді згідно з правилами знаків для = 100 Н·м. Аналогічно, розглядаючи праву відсічену частину вала /рис.7/, знаходимо, що крутний мо­мент у тому ж перерізі бу­де , тобто такий же, як і зліва.

Рис.6. Схема до визначення величини крутного момента в перерізі через крутильні моменти /ліва відрізана частина вала/

Користуючись визначен­ням крутного момента на другій ділянці, можна сфор­мулювати такий порядок ви­значення Мк в поперечних перерізах вала.

Рис.7. Схема до визначення величини крутного момента

в перерізі через крутильні моменти /права відрізана частина вала/

1. Площиною, перпендикулярною до осі вала, розтинають його в по­трібному перерізі.

2. Записують крутний момент у перерізі як алгебраїчну суму крутиль­них моментів, розміщених по один із боків перерізу. В цьому разі в рівняння для Мк крутильний момент Т записують із знаком "плюс", якщо, дивлячись на переріз, він повертає відсічену частину вала проти годинникової стрілки, із знаком "мінус"- якщо за годинниковою стріл­кою.

Провівши довільні розтини на інших силових ділянках вала, отримає­мо відповідно:

Значення крутних моментів на різних ділянках вала зручно зобра­жати в вигляді епюри, тобто графіка, що показує, як змінюється крутний момент під час переходу від перерізу до перерізy вздовж вала. Під час побудови епюр крутних моментів користуються загальними правилами побу­дови епюр.

На рис.5,б зображена епюра крутних моментів вала, що показаний на рис.5,а. Аналізуючи побудовану епюру, звертаємо увагу на те, що до вала прикладено крутильний момент Т₃ = 400 Нм, найбільший крут­ий момент в перерізах вала на перевищує 200 Нм. Саме цю величину, а не Т3 = 400 Нм необхідно використати в розрахунках на міцність і короткість вала.

Запитання для самоконтролю

1. Який вид деформації називається крученням? Яка величина в кількісною характеристикою деформації кручення?

2. Сформулюйте правило знаків для крутного момента Мк .

3. Як визначається напруга в поперечному перерізі вала при кру­ченні? Який характер її розподілу по площі поперечного перерізу?