5. Моменти інерції деяких найпростіших перетинів

1. Півколо (рис.9).

Рис.9. Перетин у формі півкола

Головними центральними осями є вісь симетрії у і перпендикулярна їй центральна вісь х. Зовсім очевидно, що момент інерції півкола вдвічі менше, ніж момент інерції кола щодо тої ж осі:

()

         Таке ж значення має момент інерції щодо осі  :

Скориставшись (2.8) і знайденим у прикладі 6.1 значенням ординати центра ваги півкола, одержимо

(14)

       Якщо початок головних осей збігається з центром ваги перерізу, то осі мають назву головних центральних. У випадку наявності у фігури осей симетрією головні центральні осі збігаються з ними.

В изначимо моменти інерції круглого перерізу (рисунок 9')

;

. (15)

У нашому випадку

. (15')

  2. Прямокутник (рис. 10,а).

а	б

Рис.10. Прямокутний перетин

Визначимо спочатку момент інерції щодо осі, що збігає з основою.

По визначенню

Розіб'ємо перетин на елементарні прямокутники (смужки) шириною   й товщиною (висотою)  , тоді   Підставляючи значення   у вираження для    й інтегруючи, одержуємо

(16)

         Головний центральний момент  інерції знайдемо по формулі (8):

звідки

У цьому випадку відстань між осями   й 

тоді

(17)

        Аналогічно, момент інерції щодо осі  у

(18)

        Для квадрата зі стороною  на підставі (17)

(19)

        3. Трикутник (рис.10,б).

Обчислимо спочатку момент інерції щодо осі, що збігає з основою. Розбиваючи перетин на елементарні смужки, як показано на рис.10,б, знаходимо

Із подібності трикутників   і   одержимо

тоді

(20)

         Підставляючи в (2.8) значення

,

знаходимо момент інерції щодо центральної осі  :

(21)

Для довільного трикутника вісь   не є головною; якщо ж трикутник рівнобедрений, то осі    й   головні, тому що вісь   є віссю симетрії.

Поняття про радіус і еліпс інерції

Момент інерції фігури щодо якої-небудь осі можна представити у вигляді добутку площі фігури на квадрат величини, яку називають радіусом інерції

(22)

де   — радіус інерції щодо осі  .

З (22) треба, що

(23)

         Аналогічно радіус інерції площі перетину щодо осі у

(24)

         Головним центральним осям інерції   відповідають головні радіуси інерції

(25)

         Побудуємо на головних центральних осях інерції фігури еліпс із півосями, рівними головним радіусам інерції, причому уздовж осі    відкладаємо відрізки  , а уздовж осі   — відрізки  (рис.2.15).

Рис.11. Еліпс інерції

Такий еліпс, що називають еліпсом інерції, має наступну властивість. Радіус інерції щодо будь-якої центральної осі   визначається як перпендикуляр   проведений із центра еліпса на дотичну, паралельну даної осі. Для одержання ж точки торкання досить провести паралельно даної осі   будь-яку хорду. Крапка перетинання еліпса із прямої, що з'єднує центр О и середину хорди, і є крапка торкання. Вимірявши потім відрізок  ,знаходимо момент інерції

Запитання для самоконтролю

1. Перелічити та дати визначення основних геометричних характерис­тик поперечних перерізів бруса.

2. Як найбільш раціонально визначити координати центра ваги склад­ної плоскої фігури?

3. Як визначаються моменти інерції трикутника, прямокутника, круга?

4. Як змінюються моменти інерції в разі паралельного перенесення осей?

5. Осьові моменти інерції двох кругів відносяться як 16:1. Як відносяться їх площі?

6. Що розуміють під головними осями інерції?