1. Полярний, осьовий, відцентровий моменти інерції.

Площа перетину

При рішенні завдань опору матеріалів у розрахункові формули вводяться величини, що визначають форму й розміри поперечних перерізів і називаються геометричними характеристиками плоских перетинів.

Першою такою величиною варто вважати площу перетину. Розглянемо довільний поперечний переріз. Виділимо нескінченно малий елемент d, положення якого в прямокутній системі координат визначається величинами x і y (рис.1).

Рис.1. До визначення геометричних характеристик

У загальному випадку площа поперечного перерізу визначається у вигляді

(1)

Ця характеристика має розмірність довжини в другому ступені й виміряється в м², см², мм².

Площа поперечного перерізу бруса є геометричною характеристикою його міцності й твердості не завжди, а лише при рівномірному розподілі напруг по поперечному перерізу. При нерівномірному розподілі напруг, що має місце при роботі бруса на крутіння, його міцність і твердість залежать уже від іншої геометричної характеристики.

Це ж ставиться й до вигину бруса. Дійсно, із двох брусів (рис.2) з рівновеликими площами поперечних перерізів перший (при однаковому навантаженні) деформується значно сильніше другого (наприклад, при h: b = 2 прогини першого бруса в 4 рази більше, ніж другого).

Рис.2. Вигин брусів з рівновеликими площами перетинів

 

Статичний момент площі. Центр ваги перетину

Розглянемо добуток елемента площі d на його відстань до  осі x, а потім — до осі y. Підсумовуючи такі добутки для всього перетину, одержимо

,

(2)

Величини, обумовлені формулами (2), є геометричними характеристиками поперечного перерізу й називаються статичними моментами площі щодо осей.

Очевидно, статичний момент має розмірність довжини в третьому ступені (виміряється в м³, см³, мм³).

Розглянемо той же перетин при паралельному переносі осей (рис.3):

Рис.3. Паралельний перенос осей

По визначенню:

Очевидно, що величини a і b можуть приймати будь-які значення. Виберемо їх так, щоб виконувалися умови

тоді

і осі   називаються центральними осями, а точка їх перетинання — центром ваги перетину.

Отже, положення центра ваги перетину (точка З) визначається виразом

(3)

Залежно від положення осі, щодо якої обчислюється статичний момент, він може бути додатнім, від'ємним або рівним нулю.

З формул (3) випливає досить важливий наслідок: щодо будь-якої центральної, тобто минаючої через центр ваги, осі перетину його статичний момент дорівнює нулю.

Осьові, полярний і відцентровий моменти інерції

Осьовим моментом інерції плоского перетину щодо даної осі називається взята по всій площі перетину сума добутків площ елементарних площадок на квадрати їхніх відстаней до цієї осі (рис.4).

Рис.4. До визначення моментів інерції

Із цього визначення виходить, що момент інерції щодо осі   являє собою визначений інтеграл

(4)

Аналогічно, момент інерції щодо осі 

(4')

У технічній літературі ці характеристики іноді називають екваторіальними  моментами інерції.

Осьовий момент інерції може бути тільки додатною величиною, тому що незалежно від знака координати довільної площадки відповідний доданок додатній, так як в нього входить квадрат цієї координати. Розмірність осьового моменту інерції — довжина в четвертому ступені (виміряється в м⁴, см⁴,мм⁴).

Якщо положення елементарної площі d визначено радіус- вектором  (рис.4), то величину

(5)

називають полярним моментом інерції.

Очевидно, що   (рис.8), тому для будь-якого перетину

.

(6)

Розмірність цієї величини — м⁴, см⁴, мм⁴.

При визначенні осьових моментів інерції в деяких випадках доводиться зустрічатися ще з однією геометричною характеристикою — відцентровим моментом інерції. Це взята по всій площі перетину сума добутків площ елементарних площадок на добуток їхніх відстаней до двох даних взаємно перпендикулярних осей, тобто

(7)

         Відцентровий момент інерції має розмірність довжини в четвертому ступені. Залежно від розташування осей він може бути як додатнім, так і від'ємним і в окремих випадках рівним нулю.