3. Розміщення

Будь-яка впорядкована підмножина з т елементів даної множи­ни, яка містить n елементів, де т n називається розміщенням з n елементів по т елементів.

Число розміщень з n елементів по т позначають символом .

Розглянемо множину {а, Ь, с} і випишемо розміщення з еле­ментів даної множини по два:

ab, bа, ас, са, be, cb.

Отже, = 6.

Знайдемо значення .

Нехай маємо множину, яка містить n елементів. Перший еле­мент m-елементної підмножини можна вибрати n способами; другий елемент — (n - 1) способами; третій елемент — (n - 2) способами; ... m-ий елемент — (п - т + 1) способами.

Отже,

= n · (n – 1) · (n – 2) ·... · (n - m +1),

тобто число розміщень з п елементів по m дорівнює добутку т послідовних натуральних чисел, найбільше з яких n.

Якщо п = т, то маємо = Р_n тобто перестановка — окре­мий випадок розміщення.

Виконання вправ

21. Випишіть усі розміщення із елементів множини {a, b, c, d} по два.

Відповідь: ab, bа, ас, са, ad, da, bc, cb, bd, db, cd, dc.

21. Обчисліть: a) ; б) ; в) ; г) ,.

Відповіді: a) 120; 6) 72; в) 5040; г) 720.

21. Скількома способами можна розсадити 4 учнів на 25 місцях?

Відповідь: = 303 600.

21. Учневі треба скласти 4 екзамени на протязі 8 днів. Скілько­ма способами це можна зробити.

Відповідь: = 1680.

21. Скільки існує всього семицифрових телефонних номерів, в кожному із яких жодна цифра не повторюється.

Відповідь: = 604 800.

21. Скільки існує двоцифрових чисел, в яких цифра десятків і цифра одиниць різні і непарні.

Відповідь: = 20.

21. Із скількох різних предметів можна скласти 210 різних роз­міщень по два елементи в кожному?

Відповідь: 15.

3. Комбінації. Трикутник Паскаля

Нехай дано множину {а, b, с}. З елементів цієї множини мож­на утворити 6 двохелементних розміщень. ab, ас, bс, bа, са, сb.

Це впорядковані підмножини даної множини. А скільки не-впорядкованих двохелементних підмножин можна скласти з тих самих елементів? Тільки три: {ab}, {ас}, {be}.

Будь-яка підмножина з т елементів даної множини, яка містить n елементів, називається комбінацією з n елементів по т еле­ментів.

Число комбінацій з n елементів по т позначають символом . Наприклад: = 3.

З чотирьох елементів множини {a, b, c, d} можна утворити 6 комбінацій по 2 елементи: {а, b}, {а, с}, {а, d}, {b, с}, {с, а}, {b. d}; 3 комбінації по 3 елементи: {а, b, с}, {а, b, d}, {b, с, d}.

Таким чином, = 6, = 3.

Домовилися вважати, що

= 1, = n , = 1.

Виведемо формулу для знаходження значень , для цього порівняємо числа і при одних і тих же значеннях т і п.

Кожну m-елементну комбінацію можна впорядкувати Р_m спо­собами. У результаті з однієї комбінації утворюється розмі­щень (упорядкованих підмножин) з тих самих елементів. Отже, число m-елементних комбінацій у Р_m разів менше за число роз­міщень з тих самих елементів. Тобто = • , звідси

Число комбінацій з n елементів по т дорівнює дробу, чисель­ник якого е добуток т послідовних натуральних чисел, найбіль­ше з яких n, а знаменник дробу — добуток т послідовних нату­ральних чисел.

Враховуючи, що можна одержати . Отже,

Приклад Обчислити a) ; б) .

a) ; б)

Задача. Скількома способами з 25 учнів можна вибрати 3 черго­вих.