3 Контрольные вопросы

3.1 Какими параметрами характеризуются деформации при изгибе? Что такое упругая линия балки?

3.2 Для чего необходимо знать величины линейных и угловых перемещений сечений балки?

3.3 Как выглядит дифференциальное уравнение упругой линии балки? Какие допущения приняты для нее?

3.4 Какие теоретические способы определения перемещений в балках вам известны? Укажите достоинства и недостатки их применения?

3.5 Назовите правила, которые необходимо выполнять при использовании упругой линии метода начальных параметров?

3.6 Каким образом определяются начальные параметры универсального уравнения упругой линии балки?

3.7 Как строится эпюра углов поворота и прогибов балки при изгибе?

Лабораторная работа № 5. (часть 2)

Проверка теоремы о взаимности перемещений

Цель работы - проверка опытным путем справедливости теоремы о взаимности перемещений и сравнение полученных результатов с теоретическими расчетами.

1 Теоретическая часть

Теоремы о взаимности работ и взаимности перемещений являются общими теоремами сопротивления материалов и основываются на принципе независимости действия сил (принципе суперпозиции): результат действия на систему группы сил равен сумме результатов действия каждой силы в отдельности.

Теорема о взаимности работ (теорема Бетти) формулируется следующим образом: работа первой силы на перемещении точки ее приложения под действием второй силы равна работе второй силы на перемещении точки ее приложения под действием первой силы, т.е.

F₁·d₁₂ = F₂·d₂₁ . (1)

Здесь силы F₁ , F₂ и перемещения d₁₂, d₂₁ представляют собой обобщенные параметры, которые могут трактоваться как сосредоточенная сила или сосредоточенный момент и соответственно линейное или угловое перемещения.

В случае, когда силы равны между собой ( F₁ = F₂ = F) теорема о взаимности работ переходит в теорему о взаимности перемещений (теорему Максвелла): перемещение первого сечения под действием силы, приложенной во втором сечении, равно перемещению второго сечения под действием той же силы, но приложенной в первом сечении

d₁₂ = d₂₁ . (2)

Эти теоремы имеют большое значение в общей теории исследования напряженного и деформированного состояния брусьев, пластин и оболочек. Они позволяют существенно облегчить решение многих задач сопротивления материалов и строительной механики, а также упростить эксперименты по определению перемещений в упругих системах.

Проверка теорем выполняется на стенде, описанном в первой части. Для балки (рисунок 1) определяются прогибы в точках 1 и 2 соответственно для двух схем нагружения одной и той же сосредоточенной силой F.

2 Экспериментальная часть

2.1 Выбирается произвольное сечение (в точке 1) по длине балки и в нем устанавливается индикатор, мерительный стержень которого должен касаться балки (рисунок 1). Вращением кольца индикатора добиваются совпадения нулевого отсчета шкалы со стрелкой.

Рисунок 1 - Схемы нагружения балки

2.2 На подвеску, установленную в другом сечении (в точке 2), навешивается груз весом F. Снимается первый отсчет показания индикатора - y₁₂.

2.3 Затем меняется местами индикатор (в точку 2 ) и подвеска ( в точку 1). Выполняется установка начального нулевого отсчета на индикаторе. На подвеску навешивается груз того же веса F и снимается второй отсчет показания индикатора - y₂₁.

2.4 Сравниваются результаты первого и второго нагружения и устанавливается справедливость теоремы о взаимности перемещений.

2.5 Полученные прогибы сравниваются с теоретическими результатами. Для определения перемещений рекомендуется использовать интеграл Мора и формулу Верещагина:

(3)

(4)

2.6 Результаты опыта и расчеты занести в журнал испытаний. Сделать соответствующие выводы.

Журнал испытания.

Исходные и опытные данные по нагружению балки равны (согласно рисунку 1):

F = ...... H; L= ...... м; l₁ = ...... м; l₂ = ...... м; I_x = ...... ×10^-8 м⁴;

E = ...... ×10⁵ МПа; y₁₂= ...... мм; y₂₁= ...... мм.

Для теоретической проверки теоремы о взаимности перемещений составляются расчетные схемы нагружения балок в двух вариантах (cм. рисунок 1). По первой схеме нагружения перемещение y₁₂ определяется с применением метода Мора, а по второй схеме - перемещение y₂₁ определяется способом Верещагина. Примеры расчета перемещений указанными приемами представлены в приложении А.

Результаты расчета сводятся в таблицу 3.

Таблица 3 - Результаты расчета перемещений

Перемещения	y12, мм	y21, мм
Опытное значение
Теоретическое значение
Погрешность, %

Выводы: