Лабораторная работа № 5 тема: организация стека. Рекурсивные алгоритмы
Цель работы: Изучение методов работы со стеком.
План работы: Разработать рекурсивный алгоритм.
Теоретический материал:
Стек — динамическая структура данных, представляющая из себя упорядоченный набор элементов, в которой добавление новых элементов и удаление существующих производится с одного конца, называемого вершиной стека.
Стек — самая популярная и, пожалуй, самая важная структура данных в программировании. Стек представляет собой запоминающее устройство, из которого элементы извлекаются в порядке, обратном их добавлению. Это как бы неправильная очередь, в которой первым обслуживают того, кто встал в нее последним. В программистской литературе общепринятыми являются аббревиатуры, обозначающие дисциплину работы очереди и стека. Дисциплина работы очереди обозначается FIFO, что означает первым пришел — первым уйдешь (First In First Out). Дисциплина работы стека обозначается LIFO, последним пришел — первым уйдешь (Last In First Out).
Головоломка "Ханойские башни" достаточно старая и хорошо известная, с ней связано несколько забавных легенд, но суть проблемы, которую я попытаюсь рассмотреть на примере данной задачи - использование рекурсивных алгоритмов и преобразование их к не рекурсивным.
Для начала сформулируем саму задачу. Даны три стержня ((н) - начальный, (к)- конечный, (д) - дополнительный) на стержень (н) нанизано некоторое количество дисков (будем полагать его равным n) при этом все диски имеют разный диаметр и расположены на стержне (н) в порядке уменьшения диаметра снизу в верх (см. рис).
Необходимо переместить все диски на стержень (к), т.е. головоломка должна быть приведена к виду:
при этом за один ход можно переместить только один диск, и в результате хода не должно возникнуть ситуации, когда диск с большим диаметром будет положен на диск с меньшим диаметром.
Выбор той или иной стратегии перемещения дисков приводит к новому вопросу, сколько необходимо ходов для того чтобы головоломка была полностью разрешена. Причем очевидно что количество ходов растет с ростом числа дисков, и желательно получить некоторую функцию f(n), которая выдавала бы для данной стратегии количество ходов необходимых для решения задачи в зависимости от числа дисков. В статье рассматривается только одна стратегия, оптимальность которой можно доказать. Вначале стратегия получается в виде рекурсивного алгоритма, а затем преобразуется к не рекурсивной форме.
Рекурсивная стратегия.
Итак, нам необходимо перенести n дисков со стержня (н) на стержень (к). Допустим у нас есть процедура перенесения n-1 диска, обозначим ее Х(n-1,(Ст1),(Ст2)), тогда задача легко разрешима для этого вначале перенесем n-1 диск со стержня (н) на стержень (д), применяя процедуру Х, затем перенесем n-ый диск со стержня (н) на стержень (к) (обозначим эту процедуру П((Ст1),(Ст2)) и наконец перенесем n-1 диск со стержня (д) на стержень (к). Работа выполнена. Алгоритм в этом случае можно записать следующим образом:
1. Х(n-1, (н), (д))
2. П((н),(к))
3. Х(n-1, (д), (к))
Теперь необходим частный случай, не являющийся рекурсивным. Если диск всего один, то можно сразу перенести его со стержня (н) на стержень (к), таким образом, выполняется тождество Х(1, (Ст1), (Ст2))=П((Ст1), (Ст2)). Таким образом, процедура Х представляется в виде блок-схемы:
Просто? Да, несомненно, просто, но все равно некоторым такое решение внушает опасение. Почему? Скорее всего, сказывается недостаток владения рекурсивными методами, но не только. Рекурсивные решения отличаются от обычных именно своей не очевидностью. Что же сделать, чтобы "поверить" в то, что предъявленная стратегия верна? На мой взгляд, лучший способ проверить стратегию "практически" для малых n.
Вернемся к вопросу вычисления функции f(n). Для предъявленной рекурсивной процедуры, представление f(n) достаточно тривиально:
f(1)=1
f(n)=2* f(n-1)+1
Явный вид функции f(n) нетрудно найти из приведенных выше соотношений, пользуясь принципом математической индукции: f(n)=2n -1.
Дополнительно к тому, что уже имеется, заметим еще одно свойство перемещаемых дисков. Пусть наши диски пронумерованы от 1 до n, таким образом, что диск с наименьшим диаметром имеет номер 1, второй по величине диаметра диск номер 2, и т.д., наконец диск с наибольшим диаметром имеет номер n. Тогда можно заметить, два диска с номерами одинаковой четности никогда не будут лежать друг на друге (т.е. диск с номером 2 не ляжет на диск с номером 4, 6 или 8). Докажем что это свойство выполнено. Доказательство будем проводить по индукции, допустим, что свойство выполнено для процедуры Х(p,(Ст1),(Ст2)), где p < n (для p=1 и Х(1,(Ст1),(Ст2)) свойство выполнено автоматически), далее докажем, что тогда свойство выполняется и для Х(n,(Ст1),(Ст2)). Начнем с переноса (n-1) дисков на стержень (д). Пока не передвинут (n-1)-ый диск, ни один диск не кладется непосредственно на диск с номером n и значит требуемое свойство выполнено. Рассмотрим момент, когда n-2 дисков находятся на одном стержне, диски с номерами n-1 и n - на другом стержне, а третий стержень пуст. Мы перемещаем диск с номером n-1. Теперь нужно переместить первые n-2 дисков на диск с номером n-1, поэтому диски будут оказываться на диске с номером n. Если мы помещаем диск с номером k на диск с номером n, то для того, чтобы образовать пирамиду дисков с номерами от k до 1 и иметь возможность, переместить диск с номером k+1 на диск с номером n-1. Но поскольку требуемое свойство выполняется для n-1 дисков, то честность k+1 диска не может совпадать с четностью n-1. А значит, она совпадает с четностью n, и отсюда следует, что четность n и k различна.