Часть 2

9. Алгоритмическая теория измерения

Алгоритмическая теория измерения является первой математической теорией, в которой автор совершенно неожиданно для себя пришел к «оптимальным алгоритмам измерения», основанным на р-числах Фибоначчи. Собственно с этого научного открытия и началось увлечение автора числами Фибоначчи и золотым сечением. Эта теория достаточно подробно описана в книгах автора [8-10], изданных большими тиражами, и каждый желающий может ознакомиться с этими книгами в технических библиотеках. Значение «алгоритмической теории измерения» для математики состоит в том, что эта теория развивает и расширяет «математическую теорию измерения», которая считается второй (после теории чисел) фундаментальной теорией математики.

10. Матрицы Фибоначчи и новая теория кодирования

Q-матрица

В последние десятилетия «Теория чисел Фибоначчи» дополнилась новыми математическими результатами. Одним из них является теория матрицы специального типа, названной Q-матрицей [79]. Последняя представляет собой простейшую квадратную матрицу размером 2 2 следующего вида:

(110)

Заметим, что детерминант Q-матрицы равен -1, то есть,

Det Q = -1.

(111)

Но какое отношение имеет Q-матрица к числам Фибоначчи? Чтобы ответить на этот вопрос, достаточно возвести Q-матрицу в n-ю степень. Тогда мы получим [79]:

(112)

где F_n-1, F_n, F_n+1 числа Фибоначчи.

Используя (111), легко доказать, что детерминант матрицы (112) задается выражением:

Det Qn = (-1)n,

(113)

где n – целое число.

С другой стороны, детерминант матрицы (112) можно вычислить непосредственно из матрицы (112). Тогда с учетом (113) можно записать следующее выражение для детерминанта:

Det Qn = Fn-1Fn+1 — = (-1)n.

(114)

Напомним, что тождество (114), задающее связь трех соседних чисел Фибоначчи, было выведено еще в 17-м веке знаменитым астрономом Кассини; поэтому формула (114) называется также «формулой Кассини» [65]. Отсюда вытекает, что Q-матрица выражает одно из наиболее важных свойств чисел Фибоначчи, задаваемое (114), а свойство Q-матрицы, задаваемое (113), можно рассматривать как компактную запись «формулы Кассини»!

Обобщенные матрицы Фибоначчи

Можно использовать идею «фибоначчиевой» Q-матрицы (110) для получения обобщенных матриц Фибоначчи. В работе [48] ведена в рассмотрение квадратная матрица специального типа, которая названа Q_p-матрицей:

(115)

где индекс p принимает следующие значения: 0, 1, 2, 3, ….

Заметим, что Q_p-матрица представляет собой квадратную матрицу размером (p+1) (p+1). Она содержит единичную (p p)-матрицу, ограниченную последней строкой типа 100...00, и первым столбцом типа 100..01. Для случаев p = 0, 1, 2, 3, 4 Q_p-матрицы имеют следующий вид соответственно:

Q₀ = (1); ; ;

; .

Основным результатом работы [48] является доказательство следующего выражения для Q_p-матрицы, возведенной в степень n:

(116)

где р =0, 1, 2, 3, …, n = 0,  1,  2,  3, …, а элементами матрицы являются р-числа Фибоначчи, задаваемые рекуррентным соотношением (45) при начальных условиях (46).

В работе [48] доказано также, что детерминант матрицы (116) задается следующим выражением:

Det = (-1)pn,

(117)

где p = 0, 1, 2, 3, …; n = 0,  1,  2,  3, ….

Таким образом, в работе [48] разработана теория квадратных матриц, обладающих уникальным математическим свойством: согласно (117) детерминант любой такой матрицы всегда равен по абсолютной величине 1, а знак единицы зависит от произведения двух целых чисел p n (р =0, 1, 2, 3, …, n = 0,  1,  2,  3). Если это произведение является четным, то детерминант матрицы (116) равен +1, в противном случае детерминант равен -1.

Обобщение формулы Кассини

Ясно, что матрица (116), обладающая уникальным математическим свойством (117), представляют фундаментальный интерес для теории матриц и могут быть использованы для расширения «фибоначчиевых» исследований. При этом выражение (117) можно рассматривать как обобщение «формулы Кассини» (113). Например, для случая р=2 обобщенная «формула Кассини» выглядит следующим образом:

Det = F2(n+1)[F2(n-2) F2(n-2)- F2(n-1)F2(n-3)] + +F2(n)[F2(n)F2(n-3)- F2(n-1)F2(n-2)] + + F2(n-1)[F2(n-1) F2(n-1)- F2(n)F2(n-2)] = 1.

(118)

Подобно «формуле Кассини» (114), задающей связь между тремя соседними числами Фибоначчи, формула (118) связывает пять соседних 2-числа Фибоначчи F₂(n-3), F₂(n-2), F₂(n-1), F₂(n) и F₂(n+1) для любого заданного числа n (n = 0,  1,  2,  3, …).

Подчеркнем еще раз, что обобщенных «формул Кассини», подобных (118) и основанных на (117), теоретически бесконечно, причем их столько же, сколько существует натуральных чисел, поскольку р=1, 2, 3,....

Новая теория кодирования

Матрицы Фибоначчи (116) привели к созданию новой теории кодирования, описанной в книге [14]. Суть метода кодирования, основанного на использовании матриц Фибоначчи (116), состоит в представлении исходного сообщения в виде матрицы М размером (р+1) (р+1) и ее умножении на кодирующую матрицу типа (116); при этом декодирование состоит в умножении кодовой матрицы Е на декодирующую матрицу .

Кодирование	Декодирование
M = E	E = M

Исходная матрица М связана с кодовой матрицей Е следующим свойством. Вычислим детерминант исходной матрицы М, равный числу Det M, а затем найдем детерминант кодовой матрицы Det Е. Согласно теории матриц, эти детерминанты связаны соотношением:

Det Е = Det (M ) = Det M Det

(119)

Если теперь воспользоваться тождеством (117), то мы получаем следующее тождество, связывающее детерминанты матриц М и Е:

Det Е = Det M (-1)pn,

(120)

где p = 0, 1, 2, 3, …; n = 0,  1,  2,  3, ….

Тождество (120), связывающее детерминанты матриц М и Е, является «основным контрольным соотношением», что приводит к весьма эффективному способу обнаружения и коррекции ошибок в кодовой матрице Е.