1. Числовые ряды.

Пусть дана бесконечная последовательность чисел , ,…, ,…

Определение. Выражение называется числовым рядом, а , ,…, ,… - членами ряда.

Коротко ряд записывается так: .

Выражение для n-го члена ряда при произвольном n называется общим членом ряда.

Назовем n-ой частичной суммой ряда сумму его n первых членов:

.

Определение. Если при существует конечный предел последовательности частичных сумм членов данного ряда

,

то ряд называется сходящимся, а число - его суммой.

В противном случае ряд называют расходящимся.

Справедлив необходимый признак сходимости ряда: Если ряд сходится, то общий член стремится к нулю при неограниченном возрастании его номера.

Заметим, что этот признак является необходимым, но не достаточным, т.е. обратное утверждение не верно.

Пример 12. Рассмотрим ряд , который называется гармоническим.

Здесь при , но при этом ряд расходится .

Из необходимого признака сходимости ряда можно вывести достаточный признак расходимости ряда: Если общий член данного ряда при возрастании номера не стремится к нулю, то этот ряд является расходящимся.

Ряды с положительными членами

Рассмотрим достаточные признаки сходимости ряда.

1. Признак сравнения.

Пусть даны два ряда с положительными членами

(30)

и

, (31)

и пусть каждый член ряда (30) не больше соответствующего члена ряда (31), т.е. начиная с некоторого номера , тогда

1. если сходится ряд (31), то сходится ряд (30);

2. если расходится ряд (30), то расходится и ряд (31).

2. Предельный признак сравнения.

Если , то ряды (30) и (31) ведут себя одинаково, т.е. если расходится ряд (30), то расходится и ряд (31), и наоборот, если сходится ряд (30), то сходится и ряд (31).

Обычно применяют признаки сравнения с известными сходящимися или расходящимися рядами. Так, известно, что обобщенный гармонический ряд сходится, если и расходится, если .

Пример 13. Выяснить, сходится ли ряд .

Решение. Сравним данный ряд с известным сходящимся гармоническим рядом :

, следовательно, оба ряда ведут себя одинаково, т.е. сходятся.

Ответ: данный ряд сходится.

3. Признак Даламбера.

Пусть дан ряд

(32)

Если при существует предел модуля отношения последующего члена к предыдущему , равный :

,

то при ряд сходится, при ряд расходится.

При ряд может быть как сходящимся, так и расходящимся, и необходимо применить другой признак сходимости ряда.

Пример 14. Выяснить, сходится ли ряд .

Решение. Здесь , . Поэтому , следовательно, данный ряд сходится.

Ответ: данный ряд сходится.

4. Радикальный признак Коши.

Пусть дан ряд (32).

Если при существует предел корня n-ой степени из модуля общего члена, равный :

,

то при ряд сходится, при ряд расходится.

При ряд может быть как сходящимся, так и расходящимся.

Пример 15. Выяснить вопрос о сходимости ряда .

Решение. Применим радикальный признак Коши. Здесь . , следовательно, данный ряд сходится.

Ответ: данный ряд сходится.

5. Интегральный признак Коши.

Пусть дан ряд (32), члены которого являются значениями непрерывной функции при целых значениях аргумента , и пусть монотонно убывает в интервале . Тогда ряд сходится, если сходится несобственный интеграл , и расходится, если этот интеграл расходится.

Пример 16. Рассмотрим ряд . К этому ряду не применим ни признак Даламбера, ни радикальный признак Коши (при применении признака Даламбера или радикального признака Коши получим ). Применим интегральный признак Коши:

Таким образом, мы доказали, что гармонический ряд сходится при и расходится при .