Линейные уравнения первого порядка

Определение. Линейным уравнением первого порядка называют дифференциальное уравнение первого порядка, которое линейно относительно функции и ее производной, т.е. уравнение вида

. (7)

Здесь , , - непрерывные функции от . В области, где , это уравнение равносильно уравнению вида

. (8)

Проще всего решается линейное дифференциальное уравнение в том случае, когда его правая часть равна нулю, т.е. уравнения вида:

. (9)

Такое уравнение называют однородным линейным уравнением первого порядка. Оно является уравнением с разделяющимися переменными.

Уравнение (8) в общем случае, т.е. когда , называют неоднородным линейным уравнением первого порядка. Такое уравнение решается с помощью замены

. (10)

При этом уравнение (8) принимает вид:

. (11)

Бернулли доказал, что уравнение (11) разрешимо только в случае, если

. (12)

При выполнении равенства (12) из равенства (11) также следует, что

. (13)

Таким образом, для решения уравнения (11) нужно сначала из уравнения (12) найти функцию , а затем, подставив найденную функцию в уравнение (13), найти функцию , после чего подставить в равенство (10) эти две функции.

Пример 2. Найти общее решение уравнения .

Решение. Пусть , тогда . Данное уравнение примет вид:

.

Так как , то

Найдем из полученного равенства:

.

В силу произвольности константы положим .

Тогда

.

.

Подставим в это равенство найденную функцию .

.

Разделим переменные:

.

Проинтегрируем обе части полученного равенства:

Подставим найденные функции и в равенство (10):

В силу произвольности констант и положим .

Тогда искомое общее решение имеет вид:

.

Ответ: .

Подобным образом решается уравнение Бернулли:

. (14)

Однородные уравнения

Рассмотрим еще один класс уравнений, которые путем подстановки сводятся к уравнениям с разделяющимися переменными.

Определение. Функция называется однородной функцией нулевой степени, если для любого выполняется равенство

. (15)

Иными словами, однородная функция нулевой степени не изменяется при умножении и на одно и то же число.

Определение. Дифференциальные уравнения , правая часть которых является однородной функцией нулевой степени называются однородными уравнениями.

Однородные уравнения решаются с помощью замены . Эта замена приводит однородные уравнения к уравнениям с разделяющимися переменными.

Пример 3. Решить уравнение .

Решение. Разрешим данное уравнение относительно :

.

Это уравнение однородно, т.к. его правая часть – однородная функция нулевой степени.

Сделаем подстановку

,

тогда

,

,

,

,

,

,

.

Получили уравнение с разделенными переменными. Проинтегрируем обе части этого уравнения:

,

.

Сделаем обратную замену .

,

,

,

- общий интеграл.

Ответ: .

.

Определение типа дифференциального уравнения первого порядка

Для выбора пути решения заданного дифференциального уравнения первого порядка сначала надо определить тип, к которому оно относится. Для этого следует разрешить данное уравнение относительно производной, т.е. привести его к виду . После этого надо посмотреть, не разлагается ли функция на множители, один из которых зависит только от , а второй – только от . Если это возможно, то надо разделить переменные и интегрировать обе части получившегося равенства.

Если переменные не разделяются непосредственно, то следует проверить, является ли данное уравнение линейным или уравнением Бернулли, т.е. имеет ли функция вид или .

К уравнению Бернулли также сводятся уравнения вида (и более общего вида ). Для их решения надо поменять ролями переменные и и считать функцией от . В результате для этой функции получим линейное уравнение: (или уравнение Бернулли ).

Например, уравнение , если считать аргументом, а - функцией, принимает вид , т.е. становится линейным.

Если и этот метод не приводит к цели, следует проверить, не является ли однородной функцией нулевой степени.

Наконец, если и этот метод окажется неудачным, надо записать заданное уравнение в виде

и проверить, не является ли оно уравнением в полных дифференциалах.