12. Тройной интеграл.

Пусть в пространстве в области , ограниченной замкнутой поверхностью , задана непрерывная функция . Тогда интеграл

(40)

называется тройным интегралом от функции по области .

Если – плотность вещества, то интеграл имеет смысл массы вещества, находящейся в объеме . Если , то

(41)

и интеграл (41) равен объему .

Вычисление тройного интеграла, аналогично двойному, делается сведением его к 3-х кратному интегралу. При этом область считается правильной, т.е. для нее выполняются следующие условия:

всякая прямая, параллельная оси , проведенная в , пересекает поверхность лишь в двух точках;

область проецируется на плоскость в правильную область (т.е. любые прямые, параллельные осям и , проведенные в , пересекают границу области лишь в двух точках).

Сказанное в п. 2 справедливо для проекции и на другие координатные плоскости ( и ).

Пусть поверхности , ограничивающие область снизу и сверху, описываются уравнениями: и соответственно.

На границе области обозначим через и уравнения дуг и , а через и – уравнения дуг и соответственно (рис. 5). Тогда интеграл (40) можно записать в виде 3 – х кратного интеграла

(42)

или

. (43)

Пример 17. Вычислить интеграл , где область ограничена плоскостями , , , (рис. 6).

Область представляет собой пирамиду, верхняя поверхность которой описывается уравнением , а нижняя – уравнением . Проекцией области на плоскость является треугольник, уравнение гипотенузы которого есть (это уравнение получается из уравнения при ). При интегрировании по координата изменяется от до . При интегрировании по координата изменяется от до . Т.о., интеграл можно записать в виде 3–х кратного интеграла

Д и ф ф е р е н ц и а л ь н ы е у р а в н е н и я

Определение. Дифференциальным уравнением называется уравнение, связывающее независимые переменные, функцию и производные (или дифференциалы) этой функции.

Определение. Решением дифференциального уравнения называется функция, которая при подстановке в уравнение обращает его в тождество.

1. Дифференциальные уравнения первого порядка. Уравнения с разделяющимися переменными

Самыми простыми дифференциальными уравнениями являются уравнения первого порядка:

.

Определение. Частным решением уравнения первого порядка называется решение, удовлетворяющее заданному начальному условию

,

где - заданная постоянная величина.

Самыми простыми дифференциальными уравнениями первого порядка являются уравнения вида

. (1)

Такие уравнения решаются простым интегрированием функции, т.е.

. (2)

Следующими по сложности являются дифференциальные уравнения вида

, (3)

для которых дифференциальная форма такова:

. (4)

Поскольку в уравнении (4) левая часть содержит лишь переменную и ее дифференциал, а правая – лишь переменную и ее дифференциал, то говорят, что в этом уравнении переменные и разделены.

Чтобы решить уравнение (4), нужно проинтегрировать обе его части:

. (5)

К решению уравнений вида (4) сводится интегрирование дифференциальных уравнений с разделяющимися переменными. Так называют уравнение

, (6)

правая часть которого является произведением функции от на функцию от .

Пример 1. Решить уравнение

.

Решение. Это уравнение с разделяющимися переменными. Приведем его к виду (4), т.е. разделим переменные:

.

Получили уравнение с разделенными переменными. Проинтегрируем обе части полученного уравнения:

;

В силу произвольности константы положим и запишем полученное равенство в виде:

Из школьного курса алгебры известна формула:

.

Тогда

Окончательно будем иметь:

- общее решение (или общий интеграл) данного дифференциального уравнения.

Ответ: .