10. Приложения определенного интеграла.

1. Площадь области, ограниченной кривой , осью и прямыми и равна

(17)

(площадь участков с должна браться по модулю). При параметрическом задании функции , будет равна

. (18)

В полярной системе координат площадь , ограниченная кривой и двумя лучами и равна

. (19)

2. Длина дуги плоской, дифференцируемой на отрезке кривой, заданной уравнением , равна

. (20)

При параметрическом задании кривой , равна

. (21)

В полярной системе координат длина дуги кривой, заданной уравнением , где , находится по формуле

. (22)

3. Площадь поверхности, образованной вращением кривой вокруг оси , равна

. (23)

4. Объем тела, полученного вращением кривой вокруг оси , равен

. (24)

11. Двойной интеграл.

Интеграл вида

(32)

называется двойным интегралом от функции по заданной на плоскости замкнутой области . При этом функция предполагается непрерывной в области . Если , то интеграл

(33)

в этом случае имеет смысл площади области . Если и является определенной функцией и , то интеграл (32) имеет смысл объема тела, ограниченного сверху поверхностью , снизу плоскостью , а с боков поверхностью цилиндра, образующие которой параллельны оси , а направляющей является граница области .

Двойной интеграл обладает следующими свойствами:

1. , . (34)

2. . (35)

3. , (36)

где .

Введем для границы области (Рис. 2) следующие обозначения:

дугу обозначим как кривую

дугу обозначим как кривую

дугу обозначим как кривую

дугу обозначим как кривую .

Вычисление двойного интеграла осуществляется сведением его к двукратному (повторному) интегралу. Используя введенные обозначения можно записать

. (37)

Левый интеграл (по ) в (37) называется внешним интегралом, а правый интеграл (по ) – внутренним. Изменяя порядок интегрирования в двукратном интеграле, можно записать:

. (38)

Для правильной расстановки пределов интегрирования во внутреннем интеграле целесообразно внутри области провести прямую, параллельную оси переменной, по которой осуществляется интегрирование во внутреннем интеграле. Пересечение этой прямой с границами области указывает на значения пределов интегрирования.

Пример 16. Вычислить двойной интеграл , меняя порядок интегрирования по и . Область ограничена кривыми и (Рис. 3).

Решение.

Делаем рисунок области . Находим координаты точки из равенства ординат обеих кривых в точке :

; ; .

Записываем двойной интеграл в виде двукратного, рассмотрев 2 случая:

а) внутренний интеграл вычисляется по .

Проводим внутри области прямую (Рис. 3). Как видно, абсцисса на прямой изменяется от на верхней кривой до на нижней кривой. Значения y во внешнем интеграле изменяются от до 16. Т.о. имеем:

;

б) внутренний интеграл вычисляется по .

Проводим внутри области прямую (рис. 3). Ордината на прямой изменяется от на нижней кривой до на верхней кривой. Значения во внешнем интеграле изменяются от до . Т. о. имеем:

.

Результаты вычисления интеграла двумя способами совпадают.

При вычислении двойного интеграла в полярных координатах в подынтегральном выражении делается замена: , , :

, (39)

где обозначены на рис. 4.